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整式的除法（提高）
【学习目标】
1. 会进行单项式除以单项式的计算．
2. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，
则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现
的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，
单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点二、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即
要点诠释：
（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质
是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【典型例题】
类型一、单项式除以单项式
1、先化简，再求值．
，
其
中
，
，
．
【答案与解析】
解：原式
．
当
，
，
时，
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．
【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂相
乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错．
2、观察下列单项式：
，－2
，4
，－8
，16
，…
（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第
个
单项式；
（2）根据你发现的规律写出第10 个单项式．
【思路点拨】（1）利用单项式除单项式的法则计算：
（－2
）÷
＝－2
；4
÷（－2
）＝
－2
；其他几个式子也按相同方式进行都得同一个结果，由此可得出第
个单项式为
；（2）并用此公式可写出第10 个单项式的结果．
【答案与解析】
解：（1）－2
，
；
（2）第
个单项式为
，则第10 个为－512
．
【总结升华】本题考查学生的观察分析能力，根据系数、的指数的变化得出规律是解题的关
键．
类型二、多项式除以单项式
3、计算：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再进行除法计算．（3）中
看作一个整体，然后
再按多项式除以单项式的法则计算．
【答案与解析】
解：（1）原式
．
（2）原式
．
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（3）原式
．
【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用．（2）在解题时应注
意整体思想的应用，如第（3）题．
举一反三：
【变式】先化简，再求值．
（1）
，其中
，
；
（2）已知
，求
的值．
【答案】
解：（1）原式
．
当
，
时，原式
．
（2）原式
．
由已知
，得
，即
．
4、已知一个多项式除以多项式
所得的商式是
，余式是
，求这
个多项式．
【答案与解析】
解： 所求的多项式为
．
【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式＝除式×商式
＋余式，应牢记这一关系式．
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