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整式的加减（一）——合并同类项（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2. 掌握同类项的有关应用；
3. 体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 同类项】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同
类项．
要点诠释：
(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同
时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1.判别下列各题中的两个项是不是同类项：
(1)-4a2b3与5b3a2；(2)
2
2
1
3 x y z
与
2
2
1
3 xy z
；(3)-8 和0；(4)-6a2b3c 与8ca2．
【答案与解析】 (1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8 和0 都是常数，是同类项；
(4)-6a2c 与8ca2是同类项．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相
同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无
关．此外注意常数项都是同类项.
2．（2016•邯山区一模）如果单项式5mxay 与﹣5nx2a﹣3y 是关于x、y 的单项式，且它们是
同类项．求
（1）（7a﹣22）2013的值；
（2）若5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2014的值．
【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a 的方程，解方
程，可得答案；
（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n 的关系，根据0 的任何整数次幂都得
零，可得答案．
【答案与解析】解：（1）由单项式5mxay 与﹣5nx2a﹣3y 是关于x、y 的单项式，且它们是同类项，
得a=2a﹣3，解得a=3；
∴（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1；
（2）由5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得
5m﹣5n=0，
解得m=n；
∴（5m﹣5n）2014=02014=0．
【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正
数次幂都得零．
举一反三：
【变式】（2015•石城县模拟）如果单项式﹣xa+1y3与x2yb是同类项，那么a、b 的值分别为
（ ）
A. a=2，b=3 B. a=1，b=2 C. a=1，b=3 D. a=2，b=2
【答案】C
解：根据题意得：a+1=2，b=3，
则a=1．
类型二、合并同类项
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 例2】
3．合并同类项：
2
2
1 3
2
4
3
2
5
x
x
x
x
；
2
2
2
2
2 6
5
2
5
6
a
b
ab
b
a
；
2
2
2
3
5
4
2
6
2
5
yx
xy
xy
x y
xy
;
2
3
2
3
4 3
1
2
1
5 1
4 1
x
x
x
x
（注：将“
1
x ”或“1
x
”看作整
体）
【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．
【答案与解析】
（1）
2
2
2
3
2
2
3
4
5
1
1
x
x
x
x
x
x
原式
（2）
2
2
2
2
6
6
5
5
2
2
a
a
b
b
ab
ab
原式=
（3）原式=
2
2
2
5
6
2
2
4
5
x y
x y
xy
xy
xy
2
2
4
5
x y
xy
（4）
2
2
3
3
2
3
3
1
5
1
2
1
4
1
2
1
6
1
x
x
x
x
x
x
原式
【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.
举一反三：
【变式1】
化简：（1）
3
2
3
1
3
1
2
5
4
3
3
xy
x
y
xy
x
（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
【答案】原式
3
3
2
3
2
1
1
2
3
1
1
2
3
(
)
(
)
5
3
3
4
5
3
3
4
xy
xy
x
x
y
xy
x
y
3
2
2
1
.
15
12
xy
x
y
（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)
=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)
=-(a-2b)2+3(a-2b).
4.（2015•大丰市一模）若﹣2amb4与5a2bn+7的和是单项式，则m+n=
．
【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2amb4与5a2bn+7是同类项．
【答案】-1
【解析】解：由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得
，
解得
．
m+n=﹣1，
故答案为：﹣1．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若
3
5
x
a b 与
3
0.2
y
a b
可以合并，则x ，y
.
【答案】3,
3
类型三、化简求值
5. 化简求值：
（1）当
1,
2
a
b
时，求多项式
3
2
3
2
3
9
9
1
11
5
5
2
4
2
4
ab
a b
ab
a b
ab
a b
的值．
（2）若
2
4
3
(3
2)
0
a
b
b
，
求多项式
2
2
2(2
3 )
3(2
3 )
8(2
3 )
7(2
3 )
a
b
a
b
a
b
a
b
的值．
【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：
原式=
3
2
3
9
1
9
11
(
)
(5
)
5
2
2
4
4
a b
ab
a b
=
3
2
3
4
5
a b
a b
将
1,
2
a
b
代入，得：
3
2
3
3
2
3
4
5
4 1
( 2)
1
( 2)
5
19
a b
a b
（2）把(2
3 )
a
b
当作一个整体，先化简再求值：
原式=
2
2
(2
8)(2
3 )
( 3
7)(2
3 )
10(2
3 )
10(2
3 )
a
b
a
b
a
b
a
b
由
2
4
3
(3
2)
0
a
b
b
可得：4
3
0,3
2
0
a
b
b
两式相加可得：4
6
2
a
b
，所以有2
3
1
a
b
代入可得：原式=
2
10 ( 1)
10 ( 1)
20
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【高清课堂：整式的运算（一）—合并同类项 例4】
【变式】
3
4
2
2
3
2
3
3
2
3
6
2
2
已知
与
是同类项，求代数式
的值
a
b
x
y
xy
b
a b
b
a b
.
【答案】
3
4
2
2
3
2
3
2
2
3
3
2
3
3
2
3
2
3
1,
2
4.
2,
6.
3
6
2
2
3
2
6
2
4
,
2,
6
6
4
2
6
228.
a
b
x
y
xy
a
b
a
b
b
a b
b
a b
b
b
a b
a b
b
a b
a
b
解：
与
是同类项，
当
时，原式
类型四、综合应用
6. 若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7 恒等，求ab-cd.
【答案与解析】
法一：由已知
ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)
∴
2,
1
7,
8
2(
1),
2
3
7.
a
b
c
d
解得：
2,
6,
5,
3.
a
b
c
d
∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.
法二：说明：此题的另一个解法为：由已知
(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x 取何值时，此多项式的值恒为零.所
以它的各项系数皆为零，即从而得
解得：
【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项
系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．
举一反三：
【变式1】若关于x 的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1 的值与x 的值无关，求(x-m)2+n 的最小值.
【答案】 -2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1
∵ 此多项式的值与x 的值无关，
∴
2
0,
5
0.
n
m
解得:
2
5
n
m
当n=2 且m=-5 时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.
∵(x-m)2≥0，
∴当且仅当x=m=-5 时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n 有最小值为2.
【变式2】若关于,x y 的多项式：
2
2
2
3
3
3
2
m
m
m
m
x
y
mx
y
nx y
x
y
m
n
，化简后是四
次三项式，求m+n 的值．
【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：
因为
2
2
m
x
y
的次数是m ，
2
m
mx
y
的次数为
1
m ，
3
3
m
nx y
的次数为m ，
3
2
m
x
y
的次数
为
2
m
，
又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然
2
2
3
3
m
m
x
y
nx y
与
是同类项，且合并
后为0，
所以有
5,1
0
m
n
，
5
( 1)
4
m
n
．
