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让更多的孩子得到更好的教育
整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项
式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行
乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式
简化运算；
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法
和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般
步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 知识要点】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：
(m
n
，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方：
(m
n
，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方：
(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：
(a ≠0, m
n
，为正整数，并且m
n
).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
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5.零指数幂：
0
1
0 .
a
a
即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双
向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
mc
mb
ma
c
b
a
m
)
(
(
c
b
a
m
,
,
,
都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加.即
a
b
m
n
am
an
bm
bn
.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质
符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．
根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：
2
x
a
x
b
x
a
b x
ab
.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同
它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：(
)
am
bm
cm
m
am
m
bm
m
cm
m
a
b
c
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，a
b
，
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同
项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
；
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的
平方和加（或减）这两数之积的2 倍.
要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分
解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项
法等.
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要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、计算下列各题：
（1）
2 3
3 4
(3 10 )
( 10 )
（2）
2 3
3 2
[3(
) ] [ 2(
) ]
m
n
m
n
（3）
2
6
2
4 3
( 2
)
( 3
)
xy
x y
（4）
6
3 2
2 3
( 2 )
( 3
)
[ (2 ) ]
a
a
a
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.
【答案与解析】
解：（1）
2 3
3 4
(3 10 )
( 10 )
3
2 3
3 4
3
(10 )
(10 )
18
19
27 10
2.7 10
．
（2）
2 3
3 2
[3(
) ] [ 2(
) ]
m
n
m
n
3
6
2
6
3
(
)
( 2)
(
)
m
n
m
n
6
6
12
27(
)
4(
)
108(
)
m
n
m
n
m
n
．
（3）
2
6
2
4 3
( 2
)
( 3
)
xy
x y
6
6
6
12
3
3
6
12
( 1)
2
( 1)
3
x y
x y
6
12
6
12
6
12
64
27
37
x y
x y
x y
．
（4）
6
3 2
2 3
( 2 )
( 3
)
[ (2 ) ]
a
a
a
6
6
6
2
2
3 2
3
6
6
( 1)
2
( 1)
3
(
)
( 1)
(2
)
a
a
a
6
6
6
6
64
9
64
9
a
a
a
a
．
【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1 时“－”号、括号
里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．
举一反三：
【变式】当
4
1
a
，b ＝4 时，求代数式
3
2
2
3
3
)
2
1
(
)
(
ab
b
a
的值．
【答案】
解：
3
3
3
2
2
3
3
6
3
6
3
6
6
1
1
7
7
1
(
)
(
)
4
56
2
8
8
8
4
a
b
ab
a b
a b
a b
.
类型二、整式的乘除法运算
2、
（2015 秋•闵行区期中）解不等式：（x﹣6）（x﹣9）﹣（x﹣7）（x﹣1）＜7（2x﹣5）
【答案
与解析】
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解：原不等可化为：x 2 ﹣15x+54﹣x 2 +8x﹣7＜14x﹣35，
整理得：﹣21x＜﹣82，
解得：x＞82
21 ．
则原不等式的解集是x＞82
21 ．
【总结升华】此题考查了多项式乘多项式，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
3、已知
3
12
3
2
6
8
3
4
m
n
ax
y
x y
x y
，求(2
)n
m
n
a
的值．
【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到
m
n
a
、、的值即可代入求值．
【答案与解析】
解：由已知
3
12
3
2
6
8
3
4
m
n
ax
y
x y
x y
，得
3
12
6
8
3
2
9
2
8
4
3
12
m
n
n
ax
y
x y
x y
x y
，
即
12
a
，3
9
m
，2
8
12
n
，
解得
12
a
，
3
m
，
2
n
．
所以
2
2
(2
)
(2 3
2 12)
(
4)
16
n
m
n
a
．
【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到m
n
a
、、的值.
举一反三：
【变式】（1）已知
1
2
27
3
27
m
m
，求m 的值．
（2）已知10
20
a
，
1
10
5
b
，求
2
9
3
a
b
的值．
（3）已知2
3
m
，2
4
n
，求
3
2
2 m
n
的值．
【答案】
解：（1）由题意，知
3
1
2
(3 )
3
27
m
m
．∴
3(
1) 2
3
3
3
m
m
．
∴ 3
3
2
3
m
m
，解得
6
m
．
（2）由已知10
20
a
，得
2
2
(10 )
20
a
，即
2
10
400
a
．由已知
1
10
5
b
，得
2
1
10
25
b
．
∴
2
2
1
10
10
400
25
a
b
，即
2
2
4
10
10
a
b
．∴ 2
2
4
a
b
∴
2
2
2
2
2
4
9
3
3
3
3
3
81
a
b
a
b
a
b
．
（3）由已知2
3
m
，得
32
27
m
．由已知2
4
n
，得
2
2
16
n
．
∴
3
2
3
2
27
2
2
2
16
m
n
m
n
．
类型三、乘法公式
4、对任意整数n ，整式(3
1)(3
1)
(3
)(3
)
n
n
n
n
是否是10 的倍数？为什么？
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【答案与解析】
解：∵(3
1)(3
1)
(3
)(3
)
n
n
n
n
2
2
2
2
2
(3 )
1 (3
)
9
1 9
n
n
n
n
2
2
10
10
10(
1)
n
n
，
2
10(
1)
n
是10 的倍数，∴ 原式是10 的倍数．
【总结升华】要判断整式(3
1)(3
1)
(3
)(3
)
n
n
n
n
是否是10 的倍数，应用平方差公式
化简后，看是否有因数10．
举一反三：
【变式】解下列方程(组)：
2
2
(
2)
(
4)
(
)(
)
3
2
x
y
x
y x
y
x
y
【答案】
解： 原方程组化简得
2
3
3
2
x
y
x
y
，解得
13
5
x
y
．
5、已知
3
a
b
，
4
ab ，求： (1)
2
2
a
b
；(2)
3
3
a
b
【思路点拨】在公式
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
中能找到
2
2
,
,
a
b ab a
b
的关系.
【答案与解析】
解：(1)
2
2
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
ab
2
2
a
b
ab
∵
3
a
b
，
4
ab ，
∴
2
2
23
2
4
17
a
b
(2)
3
3
3
2
2
3
a
b
a
a b
a b
b
2
a
a
b
b a
b
a
b
2
2
a
b
a
ab
b
2
[
3
]
a
b
a
b
ab
∵
3
a
b
，
4
ab ，
∴
3
3
2
3 3
3
4
63
a
b
.
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【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，
架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想
公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.
类型四、因式分解
6、 分解因式：
(1)
2
2
2
2
8
4
a bc
ac
abc
；
(2)
3
2
(
)
(
)
(
)(
)
m m
n
m m
n
m m
n m
n
．
【答案与解析】
解：(1)
2
2
2
2
8
4
2
(
4
2 )
a bc
ac
acb
ac abc
c
b
．
(2)
3
2
(
)
(
)
(
)(
)
m m
n
m m
n
m m
n m
n
2
(
)[(
)
(
)
(
)]
m m
n
m
n
m
n
m
n
2
2
(
)(
2
2 )
m m
n m
mn
n
n
．
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是
因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确
与否．
举一反三：
【变式】（2016 春·石景山区期末）分解因式：
（1）
（2）
．
【答案】
解：（1）
=
=
；
（2）
=
=
．
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