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无理数与实数（提高）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含
类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如
.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集
通常用字母R 表示.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0 的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘
方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实
数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
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类型一、实数概念
1、把下列各数分别填入相应的集合内：
，，
，，
，
，
，
，
，
，0，0.3737737773……（相邻两
个3 之间7 的个数逐次增加1）
【答案与解析】
解：有理数有：
，
，
，
，0，
无理数有：
，
，
，
，
，
， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含
类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……
③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如3 2 ，
，
，
，
.
举一反三：
【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有
，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才
是无理数.
(4)(×)0 是有理数.
(5)(×)如
，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如
，虽然带根号，但
＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
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…
有理数集合
…
无理数集合
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以
实数可以用有限小数和无限小数表示.
类型二、实数大小的比较
2、比较
与
的大小．
【思路点拨】根据
，
，则
来比较两个实数的大小．
【答案与解析】
解：因为
，
．
所以
＜
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数
法等.
举一反三：
【变式】解：已知实数
、
、
在数轴上的对应点如图所示，试化简：
．
【答案】由图知
，
，
．
∴
，
，
，
．
∴
．
类型三、实数的运算
3、求
的值．
【答案与解析】
解：（1）当
≥0 时，
，
，
所以
．
（2）当
＜0 时，
，
，
所以
．
即
值为0 或2
．
【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分
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类讨论．要注意对
的讨论，而开立方不需要讨论符号．
举一反三：
【变式】若
的两个平方根是方程
的一组解．
（1）求
的值；
（2）求
的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵
的平方根是
的一组解，则设
的平方根为
，
，
则根据题意得：
解得
∴
为
．
（2）∵
．
∴
的算术平方根为4．
类型四、实数的综合运用
4、已知
，且
，求
的值．
【答案与解析】
解：∵
，且
，
．
∴
，即
，
．
解得
＝3，
＝5，
得
＝64．
∴
．
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由
2
1
0
a
b
，
3
0
b
可求
、
b ，又
3
4
c
，所以c ＝64，则
可求．
举一反三：
【变式】已知
，求
的值．
【答案】
解：知条件得
，
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由②得
，
，∵
，∴
，则
．
把
代入①得
，
＝1．
∴
．
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