文档文本内容
让更多的孩子得到更好的教育
平方根（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
【高清课堂：389316 平方根，知识要点】
知识点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x 的平方等于a ，即
2x
a
,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0
的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作
a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方
数.
要点诠释：当式子
a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即
a ≥0，a ≥0.
2.平方根的定义
如果
2x
a
，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与
开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为
(
0)
a a
，其中
a 是a 的算术
平方根.
知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：
a
和
a
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0 的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；
负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的
另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点三、平方根的性质
2
0
|
|
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
2
0
a
a
a
知识点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者
向左移动1 位.例如：
62500
250
，
625
25
，
6.25
2.5
，
0.0625
0.25
.
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第1页 共4页
让更多的孩子得到更好的教育
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、下列说法错误的是（ ）
A.5 是25 的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根
C.
2
4
的平方根是－4 D.0 的平方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为
25 ＝5，所以本说法正确；
B.因为± 1 ＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；
C.因为±
2
4
＝± 16 ＝±4，所以本说法错误；
D.因为
0
＝0，
0 ＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）9
没有平方根．（ ）
（2）16
4
．（ ）
（3）
2
1
(
)
10
的平方根是
1
10
．（ ）
（4）
2
5
是4
25
的算术平方根．（ ）
【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）16
4
；（4）2
5 是4
25 的算术平方根．
2、 填空：
（1）4
是 的负平方根．
（2）
1
16
表示 的算术平方根，
1
16 ．
（3）
1
81
的算术平方根为 ．
（4）若
3
x
，则x ，若
2
3
x
，则x ．
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第2页 共4页
让更多的孩子得到更好的教育
【思路点拨】（3）
1
81
就是1
81
的算术平方根＝1
9
，此题求的是1
9
的算术平方根.
【答案与解析】(1)16；(2) 1
1
;
16
4 (3) 1
3 (4) 9；±3
【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的有（ ）：
①3 是9 的平方根． ② 9 的平方根是3．
③4 是8 的正的平方根．④ 8
是64 的负的平方根．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B；
提示：①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值：
（1）3
25 （2）81
36
（3）
0.04
0.25
（4）
4
0.36
121
【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6
55
3、使代数式
1
x
有意义的x 的取值范围是______________．
【答案】x ≥1
；
【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1
.
【总结升华】当式子
a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即
a ≥0，a ≥0.
举一反三：
【变式】（2016 春•庐江县期末）已知
，求
的平方根．
【答案】解：
，
解得
，
∴
=1
2
﹣×（﹣2）=5，
∴5 的平方根是±
．
类型二、利用平方根解方程
4、（2015 春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值
（1）169x2=144
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第3页 共4页
让更多的孩子得到更好的教育
（2）（x
2
﹣）2
36=0
﹣
．
【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x
2
﹣）看成一个整体，移项后，根据
平方根定义求解．
【答案与解析】
解：（1）169x2=144，
两边同时除以169，得
2
144
169
x
开平方，得
x=
（2）（x
2
﹣）2
36=0
﹣
，
移项，得 （x
2
﹣）2=36
开平方，得 x
2
﹣=±6，
解得：x=8 或x=
4
﹣．
【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．
类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3 倍，面积是1323 平方米．求长
和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为x ，长为3 x ，
由题意得，x ·3 x ＝1323
3
2x ＝1323
21
x
x ＝－21(舍去)
答：长为63 米，宽为21 米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第4页 共4页
