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绝对值与相反数（基础）
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
【要点梳理】
要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0 的相
反数是0．
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0 的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点
对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-
{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3 的相反数，
因此，－（－3）＝3．
要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值
等于2，记作|+2|=2；-3 的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的
绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离
越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
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（2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的
位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的
大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b 为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之
成立．
4． 求商法：设a、b 为任意正数，若
，则
；若
，则
；若
，则
；
反之也成立．若a、b 为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【典型例题】
类型一、相反数的概念
1．下列各组数互为相反数的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将
原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数．
【答案】C
【解析】
的相反数是
，而不是
；的相反数是
，而不是
，－6 的相反数就
是
，所以C 正确；
的相反数是
，不是
．
【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．
举一反三：
【变式】填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100 的相反数；(3)
是 的相反数；
(4) 的相反数是-1．1；(5)8.2 和 互为相反数．（6）a 和 互为相反数 ．
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（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．
【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）
；（4）1．1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 ．
类型二、多重符号的化简
2．化简下列各数中的符号．
（1）
（2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）
（5）-[-(+1)] （6）-(-a)
【答案】 (1)
（2）-(+5)＝-5 （3）-(-0.25)＝0.25
（4）
（5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1 (6)-(-a)＝a
【解析】
(1)
表示
的相反数，而
的相反数是
，所以
；
（2）-(+5)表示+5 的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5；
（3）-(-0.25)表示-0.25 的相反数，而-0.25 的相反数是0．25，所以-(-0.25)＝0.25；
（4）负数前面的“+”号可以省略，所以
；
（5）先看中括号内-(+1)表示1 的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1 的相反
数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a 的相反数，即a．所以-(-a)= a
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个
负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
类型三、绝对值的概念
3．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】
，-0.3，0，
在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是
各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
方法1：因为
到原点距离是
个单位长度，所以
．
因为-0.3 到原点距离是0.3 个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
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因为0 到原点距离为0 个单位长度，所以|0|＝0．
因为
到原点的距离是
个单位长度，所以
．
方法2：因为
，所以
．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0 的绝对值是它本身，所以|0|＝0
因为
，所以
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，
一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是
正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反
数，还是零．从而求出该数的绝对值．
类型四、比较大小
4．比较下列有理数大小：
(1)-1 和0； (2)-2 和|-3| ；
(3)
和
； （4）
______
【答案】
(1)0 大于负数，即-1＜0；
(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；
(3)先化简
，
，
，即
．
(4)先化简
，
，这是两个负数比较大小：因为
，
，
而
，所以
，即
＜
【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较
两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
举一反三：
【变式】比大小：
______
； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；
______－1.384； －π______－3.14．
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【答案】＞；=；＞；＞；＜
类型五、绝对值非负性的应用
5． 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n 的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0 即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．
所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案】
解：因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【解析】由｜a｜≥0 即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所
以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0 时，则a
＝b＝…＝m＝0．
类型六、绝对值的实际应用
6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6 个足球的质量检测结果，
用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：
克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为
+10 的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏
差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【总结升华】绝对值越小，越接近标准．
【变式】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 的误
差．现抽查6 瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作
负数．检查结果如下表：
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1) 绝对值不超过0.002 的有4 瓶，分别是检查结果为+0.0018 ，-
0.0015 ，+0.0012 ，+0.0010 的这四瓶
(2)第6 瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
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