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有理数的乘除（提高）
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0 相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该
写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：
（1）几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当
负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对
值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个
因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc
＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相
加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中
的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个
数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把
运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是1 的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是
，-2 和
是互相
依存的；
(2)0 和任何数相乘都不等于1，因此0 没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数，即
.
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法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于0 的数，
都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0 没有倒数，所以0 不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定
积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括
号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．计算：(1)
；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数
的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积
就为零．
(1)
；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)
；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．
当因数中有一个数为0 时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必
须加括号.
2.运用简便方法计算：
(1)
；（2）
【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把
与4 相乘，再运用乘法结合律
将
与
相乘．(2)．计算
的值可运用分配律，计算
的值则可逆用分配律．
解：(1) 原式
；
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（2）
【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】
（1）原式
．
(2)
＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2
＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)
＝-3.14×100
＝-314．
类型二、有理数的除法运算
3．计算：
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，
带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
解：
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结
果．
举一反三：
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【变式】计算：
【答案】原式
类型三、有理数的乘除混合运算
4.计算：
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运
算，再应按从左到右的顺序进行．
举一反三：
【变式】计算：
【答案】
类型四、有理数的加减乘除混合运算
5. 计算：
【答案与解析】
方法1：
方法2：
所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括
号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2 利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c) ＝
a÷b+a÷c 进行分配就错了．
举一反三：
【变式】（1）
；（2）
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【答案】（1）原式=
（2）原式
类型五、含绝对值的化简
6. 已知a、b、c 为不等于零的有理数，你能求出
的值吗?
【思路点拨】先分别确定a、b、c 的取值，再代入求值．
【答案与解析】
解：分四种情况：
(1)当a、b、c 三个数都为正数时，
；
(2)当a、b、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b、c 为正数，
；
(3)当a、b、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b、c 为负数，
；
(4)当a、b、c 三个数都为负数时，
综上，
的值为：
【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.
举一反三：
【变式】计算
的取值.
【答案】(1)当a＞0、b＞0 时，
；
(2)当a＜0、b＜0 时，
；
(3)当a＞0，b＜0 时，
；
(4)当a＜0，b＞0 时，
．
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综上，
的值为：
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