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第二十一章过关自测卷
（100 分，45 分钟）
一、选择题（每题3 分，共21 分）
1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A.ax2+bx+c=0
B.
=2
C.x2+2x=y2－1
D.3(x+1)2=2(x+1)
2.若一元二次方程ax2+bx+c=0 有一根为0，则下列结论正确的是（
）
A.a=0 B.b=0 C.c=0 D.c≠0
3.一元二次方程x2－2x－1=0 的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
4.方程x2+6x=5 的左边配成完全平方式后所得方程为（ ）
A.(x+3)2=14 B.(x－3)2=14
C.(x+6)2=12 D.以上答案都不对
5.已知x=2 是关于x 的方程
x2－2a=0 的一个根，则2a－1 的值是（
）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012 年投入3 亿
元，预计2014 年投入5 亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据
题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．3（1+x)2=5
B．3x2=5
C. 3(1+x％)2=5
D. 3(1+x) +3(1+x)2=5
7.使代数式x2－6x－3 的值最小的x 的取值是（ ）
A.0 B.－3 C.3 D.－9
二、填空题（每题3 分，共18 分）
8.已知x=1 是一元二次方程x2+mx+n=0 的一个根，则m2+2mn+n2的值
为________．
9.如果方程ax2+2x+1=0 有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是
____________.
10.已知α、β 是一元二次方程x2－4x－3=0 的两实数根，则代数式（α－
3）（β－3）=________．
11.在一幅长50 cm，宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成
一幅矩形挂图，如图1 所示，如果要使整个挂图的面积是1 800 cm2,设
金色纸边的宽为x cm，那么x 满足的方程为________________.
图1
12．已知x 是一元二次方程x2+3x－1=0 的实数根，那么代数式
的值为________．
13.三角形的每条边的长都是方程x2－6x+8=0 的根，则三角形的周长
是_______________.
三、解答题（14、19 题每题12 分，15 题8 分，16 题9 分，其余每题10
分，共61 分）
14.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，
配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为
适当的方法解这个方程．
①x2－3x+1=0;②(x－1)2=3；③x2－3x=0;④x2－2x=4．
15.已知关于x 的方程x2＋kx－2＝0 的一个解与方程
=3 的解相同.
（1）求k 的值；
（2）求方程x2＋kx－2＝0 的另一个解.
16.关于x 的一元二次方程x2－3x－k=0 有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．
17.〈绍兴〉某公司投资新建了一商场,共有商铺30 间.据预测,当每间的
年租金定为10 万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000 元,少
租出商铺1 间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1 万元,未
租出的商铺每间每年交各种费用5 000 元.
（1）当每间商铺的年租金定为13 万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租
金－各种费用）为275 万元？
18.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，
每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
每千克售价（元）
38 37 36 35 ... 20
每天销售量（千克）50 52 54 56 ... 86
设当单价从38 元/千克下调到x 元/千克时，销售量为y 千克.
（1）根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等
方法，猜测并求出y 与x 的函数解析式；
（2）如果这种土特产的成本价是20 元/千克，为使某一天的利润为780
元，那么这一天的销售价应为多少元/千克？（利润=销售总金额－成
本）
19.如图2，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点
P、Q 分别从点A、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直
到达B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向点D 移动.
（1）P、Q 两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ 的面积为33 cm2？
图2
（2）P、Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是10 cm？
参考答案及点拨
一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.A 7.C
二、8.1 9.a＜1 且a≠0 10.－6 11.x2+40x－75=0 12. 13.6 或10 或
12
三、14. 解：①x1,2=
；②x1,2=1±
；③x1=0，x2=3；④x1,2=1±
.
点拨:①可选择公式法,②选择直接开平方法,③选择因式分解法,④选
择配方法;任选一题即可.
15. 解：（1）k=－1. (2)方程的另一个解为x=－1.
16. 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴(－3)2－4(－k)＞0．即4k>－9，解得，k>－
．
（2）若k 是负整数，则k 只能为－1 或－2．如果k＝－1，原方程为x2－
3x+1=0．解得x1=
，x2=
．
点拨:(2)题答案不唯一.
17. 解：（1）∵30 000÷5 000＝6,∴能租出24 间.
（2）设每间商铺的年租金增加x 万元,则
(30－
)×（10＋x）－(30－
)×1－
×0.5＝275，
整理得2 x 2－11x＋5＝0，∴ x＝5 或x＝0.5，∴ 每间商铺的年租金定
为10.5 万元或15 万元.
18. 解：在直角坐标系中描点、连线略.易知y 与x 满足一次函数关系.
（1）设y 与x 之间的函数解析式是y=kx+b（k≠0）．
根据题意，得20k+b=86,
35k+b=56.解得k=－2,b=126.
所以，所求的函数解析式是y=－2x+126．
（2）设这一天的销售价为x 元／千克．
根据题意，得(x－20)(－2x+126)=780．整理后，得x2－83x+1 650=0．
解得x1=33，x2=50．
答：这一天的销售价应为33 元/千克或50 元/千克．
19. 解：（1）如答图1，设P、Q 两点从出发开始到x 秒时四边形PBCQ
的面积为33 cm2,得AP=3x cm,CQ=2x cm,所以PB=16－3x(cm).
因为(PB+CQ)×BC×
=33，
所以（16－3x+2x）×6×
=33，解得x=5，
所以P、Q 两点从出发开始到5 秒时四边形PBCQ 的面积为33 cm2.
答图1
（2）设P、Q 两点从出发开始到y 秒时，点P 和点Q 间的距离是10 cm.
如答图1,
过点Q 作QE⊥AB 于E，得EB=QC=2y cm，EQ=BC=6 cm，所以
PE=PB－BE=PB－QC=16－3y－2y=16－5y(cm),
在直角三角形PEQ 中，PE2+EQ2=PQ2,得
(16－5y)2+62=102，
即25y2－160y+192=0，
解得y1= ,y2=
,经检验均符合题意.
所以P、Q 两点从出发开始到秒或
秒时，点P 和点Q 间的距离是
10 cm.
