2020-2021 学年七年级数学下册全程单元提优测评卷（人教版）
第8 章 二元一次方程组
考试时间：120 分钟 试卷满分：100 分
1. ( 2 分 ) （2021 七下·杭州开学考）小悦买书需用48 元钱，付款时恰好用了1 元和5 元的纸币共12 张.设
所用的1 元纸币为 x 张.根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. x +5(12−x)= 48 B. x +5( x−12)= 48 C. x +12( x−5)= 48 D. 5 x +(12−x)= 48
【答案】 A
解: 1 元纸币为x 张, 那么5 元纸币有(12-x)张，
x+5(12-x) =48 ,
∴
故答案为：A.
【分析】由题意得：等量关系为: 1x1 元纸币的张数+ 5x5 元纸币的张数=48，据此列方程即可.
2. ( 2 分 ) （2021 七上·德保期末）已知 {x =−2
y =1
是方程 mx +2 y =5 的解，则 m 的值是（ ）
A. −3
2
B. 3
2
C. -2 D. 2
【答案】 A
由题意得： −2m+2×1=5 ，
解得 m=−3
2
，
故答案为：A.
【分析】先根据二元一次方程的解的定义可得一个关于m 的一元一次方程，再解方程即可得.
3. ( 2 分 ) （2021 七上·昭平期末）二元一次方程 2 x + y =11 的非负整数解有（ ）
A. 1
个
B. 2
个
C. 6
个 D. 无数个
【答案】 C
解：最小的非负整数为0，当 x =0 时， 0+ y =11 ，解得： y =11 ；
当 x =1 时， 2+ y =11 ，解得： y =9 ；
当 x =2 时， 4 + y =11 ，解得： y =7 ；
当 x =3 时， 6+ y =11 ，解得： y =5 ；
当 x = 4 时， 8+ y =11 ，解得： y =3 ；
当 x =5 时， 10+ y =11 ，解得： y =1 ；
当 x =6 时， 12+ y =11 ，解得： y =−1( 不合题意，舍去 ) ；
即当 x ≥6 时，不合题意，即二元一次方程 2 x + y =11 的非负整数解有6 个.
故答案为：C.
【分析】 最小的非负整数为0，把 x =0 ， x =1 ， x =2 ， x =3… 依次代入二元一次方程
2 x + y =11 ，求y 值，直至y 为负数，从而得到答案.
4. ( 2 分 ) （2020 七上·栾城期中）−2
3 等于（ ）
A. −6 B. 6 C. −8 D. 8
【答案】 C
解：−2
3=−8 ．
故答案为：C．
【分析】根据有理数的乘方的运算法则直接计算求解即可。
5. ( 2 分 ) （2020 七上·泰兴期中）如图，在数轴上标出若干个点，每相邻的两个点之间的距离都是1 个单
位，点A，B，C，D 表示的数分别是整数a、b、c、d，且满足 2a−3d =−19 ，则 b+c 的值为（ ）
A. −3 B. −2 C. −1 D. 0
【答案】 C
解：由数轴上各点的位置可知d-a=8，d-c=3，d-b=4，
{
d −a=8
2a−3d =−19
，
所以 { d =3
a=−5
故c=d-3=0，b=d-4=-1，
代入b+c=-1.
故答案为：C.
【分析】先根据数轴上各点的位置可得到d-a=8，与 2a−3d =−19 组成方程组可求出a、d，然后根据d-
c=3，d-b=4 求出b、c 的值，再代入b+c 即可.
6. ( 2 分 ) （2020 七上·江城开学考）把一些规格相同的杯子叠起来，如下图：4 个杯子叠起来高20cm，6
个杯子叠起来高26cm。那么n 个杯子叠起来的高度可以用下面关系式( )来表示。
A. 6n-10 B. 3n+11 C. 6n-4 D. 3n+8
【答案】 D
解：设每个杯子的重叠部分的高度为xcm，杯子下部的高度为ycm，
根据题意得：{
3 x + y =20
5 x + y =26) ，
解得{
x =3
y =11) ，
n
∴
个杯子叠起来的高度为3（n-1）+11=3n+8（cm）.
故答案为：D
【分析】设每个杯子的重叠部分的高度为xcm，杯子下部的高度为ycm，根据题意列出方程组，求出方程
组的解，再根据杯子叠起来的高度=重叠部分的高度×（杯子的个数-1）+杯子下部的高度，即可求解.
7. ( 2 分 ) （2020 七下·余杭期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这
个有名的数学问题.用100 个钱买100 只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，
小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A. 87 B. 84 C. 81 D. 78
【答案】 A
解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得： {
x + y + z =100①
5 x +3 y + 1
3 z =100②
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以 y = 100−7 x
4
=25−7 x
4
令 x
4
=t, (t 为整数)所以x=4t
把x=4t 代入7x+4y=100 得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3t
A.当z=87 时,t=4,则x=16,y=
3,
﹣不符合实际;
B.当z=84 时,t=3,则x=12,y=4,符合实际;
C.当z=81 时,t=2,则x=8,y=11,符合实际;
D.当z=78 时,t=1,则x=4,y=18,符合实际;
故答案为：A.
【分析】根据题意列出三元一次方程组,根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可.
8. ( 2 分 ) 如果方程组 {ax−by =13
4x-5y=41
与 {ax +by =3
2x+3y=-7
有相同的解，则a，b 的值是（ ）
A. {a=2
b=1
B. { a=2
b=−3
C. {a= 5
2
b=1
D. { a= 4
b=−5
【答案】 A
解：由已知得方程组 {4 x−5 y = 41
2 x +3 y =−7
，
解得 { x = 4
y =−5
，
代入 {ax−by =13
ax+by=3
，
得到 {4 a+5b=13
4 a−5b=3
，
解得 {a=2
b=1
．
【分析】把4x-5y=41 和2x+3y=-7 组成方程组，剩下的两个组成方程组，由4x-5y=41 和2x+3y=-7 解得x 和
y 的值，并把它们代入到另一个方程组中，求出a 和b 的值.
9. ( 2 分 ) （2019 七下·官渡期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，
再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是( )
A. 84cm B. 85cm C. 86cm D. 87cm
【答案】 B
设长方形的长为a, 宽为b, 高为h,
由图①得：h-b+a=90,
由图②得：h+b-a=80,
所以：h-b+a+h+b-a=90+80,
2h=170,
h=85cm,
故答案为：B.
【分析】设长方形的长为a, 宽为b, 高为h, 根据如图的两种情况列式，将两式相加即可得出h 的长。
10. ( 1 分 ) （2020·永州）方程组 { x + y = 4
2 x−y =2
的解是________．
【答案】 {x =2
y =2
{ x + y = 4 ①
2 x−y =2 ②
由①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2 代入①中得，y=2，
所以方程组的解为 {x =2
y =2
．
故答案为： {x =2
y =2
．
【分析】直接利用加减消元法求解．
11. ( 1 分 ) （2020 七下·西湖期末）若2x
y
﹣＝12，用含有x 的代数式表示y，则y＝________.
【答案】 2x
12
﹣
解：∵2x
y
﹣＝12，
y
∴＝2x
12
﹣
，
故答案为：2x
12.
﹣
【分析】将x 看做已知数求出y 即可.
12. ( 1 分 ) （2020 七下·淮阳期末）有A、B、C 三种商品，如果购5 件A、2 件B、3 件C 共需513 元，购
3 件A、6 件B、5 件C 共需375 件，那么购A、B、C 各一件共需________元.
【答案】 111
设购进A 商品 x 件，B 商品y 件，C 商品z 件，
则 {5 x +2 y +3 z =513
3 x +6 y +5 z =375
，可得 5 x +2 y +3 z +3 x +6 y +5 z =8 x +8 y +8 z =888 ，
解得 x + y + z =111 ，
故答案为：111.
【分析】根据题意设购进A 商品 x 件，B 商品y 件，C 商品z 件，从而列出方程组进行求解即可得解.
13. ( 1 分 ) （2020 七下·柳州期末）已知 {x =2
y =1
是二元一次方程组 {mx +ny =8
nx−my =1
的解，则 2m−n=
________.
【答案】 4
解：把x=2，y=1 代入方程组，可得 {2m+n=8
2n−m=1
，
解得 {m=3
n=2
，
∴2m−n=2×3−2= 4 .
故答案为：4.
【分析】先把x=2，y=1 代入方程组，可求m、n 的值，最后把m、n 的值代入所求代数式计算即可.
14. ( 1 分 ) （2020 七下·北海期末）用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14 元/块，单色地砖12 元/块，
若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2 倍少15 块.买两种地砖共用了1340 元，则一共购买了彩色和单色
地砖________块.
【答案】 105
设购买彩色地砖 x 块，单色地砖 y 块，
依题意，得： {
2 x−y =15
14 x +12 y =1340
，
解得： {x = 40
y =65
，
∴x + y =105 .
故答案为：105.
【分析】设购买彩色地砖 x 块，单色地砖 y 块，根据“单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2 倍少15 块
买两种地砖共用了1340 元”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 x ， y 的值，再将
其代入（ x + y ）中即可求出结论.
15. ( 1 分 ) （2020 七下·淮安期末）若方程组 {3 x + y =1+3a
x +3 y =1−a
的解满足 x + y =0 ，则a=________.
【答案】 -1
{3 x + y =1+3a①
x +3 y =1−a②
将①+②，得： 4 x + 4 y =2+2a∴x + y = 1+a
2
=0∴a=−1
故答案为： −1 .
【分析】将两式相加表示出 x + y ，再将 x + y =0 代入即可得出答案.
16. ( 1 分 ) （2020 七下·密山期末）已知关于x，y 的二元一次方程组 {ax +by =7
bx +ay =8
的解为 {x =2
y =3
，那么关
于m，n 的二元一次方程组 {a(m+n)+b(m−n)=7
b(m+n)+a(m−n)=8 的解为________．
【答案】 {
m= 5
2
n=−1
2
解：∵关于x ， y 的二元一次方程组 {ax +by =7
bx +ay =8
的解为： {x =2
y =3
，
∴ {2a+3b=7
2b+3a=8
，∴ {m+n=2
m−n=3
，解得： {
m= 5
2
n=−1
2
．
故答案为 {
m= 5
2
n=−1
2
．
【分析】观察两个方程组的特点可将m+n 看作x，m-n 看作y，即可得到{m+n=2
m−n=3
， 求解方程组得到
m、n 的值.
17. ( 1 分 ) （2020 七下·常德期末）小明购买文具需要付32 元，小明的钱包里只有2 元和5 元两种面值的
若干张，无需找零钱，则他最多有________种付款方式．
【答案】 4
解：设付出2 元钱的张数为x，付出5 元钱的张数为y，且 x，y 的取值均为自然数，
依题意可得方程： 2 x +5 y =32 ．
则 x = 32−5 y
2
，
又∵ x 、 y 都是整数，
∴ {x =1
y =6
或 {x =6
y = 4
或 {x =11
y =2
或 {x =16
y =0
．共有4 种不同的付款方案．
故答案为：4．
【分析】根据题意可列出一个二元一次方程，但要分情况讨论结果要符合“只有2 元和5 元两种面值的人
民币”和“无需找零钱”两个条件，注意不要漏解．
18. ( 1 分 ) （2020 七下·常德期末）若方程组 { 4 x +3 y =14
kx +(k −1) y =6 的解中x 与y 的值相等，则k 为
________．
【答案】 2
解：由题意得：x=y，
4x+3x=14
∴
，
x=2
∴
，y=2，
把它代入方程kx+（k-1）y=6 得2k+2（k-1）=6，
解得k=2．
故答案为：2．
【分析】根据题意得出x=y，然后求出x 与y 的值，再把x、y 的值代入方程kx+（k-1）y=6 即可得到答案．
19. ( 1 分 ) （2019 七下·台州月考）已知关于x，y 的方程组 {a1 x +b1 y =c1
a2 x +b2 y =c2
的解为 { x =3
y = 4 ，则关于x，
y 的方程组 {3a1 x + 4 b1 y =5c1
3a2 x + 4 b2 y =5c2
的解为________.
【答案】 {x =5
y =5
解：把 { x =3
y = 4 代入 {a1 x +b1 y =c1
a2 x +b2 y =c2
，
得 {3a1+ 4 b1=c1
3a2+ 4 b2=c2
，
把 {3a1+ 4 b1=c1
3a2+ 4 b2=c2
代入 {3a1 x + 4 b1 y =5c1
3a2 x + 4 b2 y =5c2
，
得 {3a1 x + 4 b1 y =5(3a1+ 4 b1)
3a2 x + 4 b2 y =5(3a2+ 4 b2)
，
解得： {x =5
y =5
。
故答案为： {x =5
y =5
。
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将 { x =3
y = 4 代入 {a1 x +b1 y =c1
a2 x +b2 y =c2
，得 {3a1+ 4 b1=c1
3a2+ 4 b2=c2
，然后
再整体替换得出方程组 {3a1 x + 4 b1 y =5(3a1+ 4 b1)
3a2 x + 4 b2 y =5(3a2+ 4 b2)
， 然后将方程组中每一个方程的右边去括号后通
过观察即可得出方程组的解。
20. ( 6 分 ) （2021 七上·柯桥期末）解方程(组)：
（1）{
x−y =2
2 x +3 y =14
（2）y +2
4
−2 y −3
6
=1
【答案】 （1）解： 由y=x-2 得x=x-2,
2x+3y=2x+3(x-2)=14,
∴
解得x = 4,
将x=4 代入y=x-2 中，得y = 2
∴ {x = 4
y =2
；
（2）解：去分母得：3(y+2)-2(2y-3)=12，
去括号得： 3y+6-4y+6=12，
移项得：3y-4y=12-12,
合并同类项：-y=0,
解得: y=0.
（1）利用代入法解二元一次方程组即可；
（2）分步对方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1 等操作即可解出方程.
21. ( 5 分 ) （2021 七上·柯桥期末）关于x、y 的二元一次方程组 {ax +by =2
ax−by = 4
与 {2 x−3 y = 4
4 x−5 y =6
的解相同，
求a、b 的值.
【答案】 解 {2 x−3 y = 4
4 x−5 y =6
得 {x =−1
y =−2
．
由x，y 的二元一次方程组 {ax +by =2
ax−by = 4
与 {2 x−3 y = 4
4 x−5 y =6
的解相同，得
{−a−2b=2 ①
−a+2b= 4 ②
．
+
①②，得﹣2a＝6． 解得a＝﹣3．
把a＝﹣3 代入①，得3
2b
﹣
＝2．解得b＝ 1
2
【分析】先求出方程组{2 x−3 y = 4
4 x−5 y =6
的解，再根据两个方程组同解，把{2 x−3 y = 4
4 x−5 y =6
的解代入二元一
次方程组 {ax +by =2
ax−by = 4
得出关于a、b 的二元一次方程 ， 解此方程组即可.
22. ( 5 分 ) （2020 七下·甘井子期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题.
解方程组 {19 x +18 y =17①
17 x +16 y =15②
解：由①﹣②得 2x+2y＝2 即 x+y＝1③
×16
③
得 16x+16y＝16 ④
②﹣④得 x＝﹣1，从而可得 y＝2
∴原方程组的解是 {x =−1
y =2
请你仿上面的解法解方程组 {2022 x +2021 y =2020
2020 x +2019 y =2018
【答案】 解：①﹣②得：2x+2y＝2，即x+y＝1
③
×2019
①
③
﹣
得：x＝﹣1
把x＝﹣1 代入③得：y＝2
所以原方程组的解为
{x =−1
y =2
模仿材料可得：①﹣②得：x+y＝1③，①﹣③×2019 得：x＝﹣1，再求y 即可.
23. ( 5 分 ) （2020 七下·泰兴期末）新冠疫情暴发，某社区需要消毒液3250 瓶，医药公司接到通知后马上
采购两种专用装箱，将消毒液包装后送往该社区.已知一个大包装箱价格为5 元，可装消毒液10 瓶；一个
小包装箱价格为3 元，可装消毒液5 瓶.该公司采购的大小包装箱共用了1700 元，刚好能装完所需消毒液.
求该医药公司采购的大小包装箱各是多少个？
【答案】 解：设社区采购了x 个大包装箱，y 个小包装箱.
根据题意得：
{10 x +5 y =3250
5 x +3 y =1700
，
解之得： {x =250
y =150
.
答：社区采购了250 个大包装箱，150 个小包装箱.
设社区采购了x 个大包装箱，y 个小包装箱.根据消毒药水3250 瓶，得方程10x+5y=3250；根据大小包装箱
共用了1700 元，得方程5x+3y=1700.联立解方程组.
24. ( 5 分 ) （2020 七下·常德期末）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共450 台，改进技术后，计划第二
季度生产这两种机器520 台，其中甲种机器增产10%，乙种机器增产20%，该厂第二季度计划生产甲、乙
机器各多少台？
【答案】 解：设该厂第一季度计划生产甲机器 x 台，乙机器 y 台，由题可知：
{
x + y = 450
(1+10 %)x +(1+20 %) y =520 ，
解得： {x =200
y =250
(1+10%)x=1.1×200=220；
(1+20%)y=1.2×250=300．
答：该厂第二季度生产甲机器220 台，乙机器300 台．
【分析】首先设该厂第一季度计划生产甲机器x 台，乙机器y 台，根据题意可得等量关系：①第一季度甲
种机器台数+乙种机器台数=450 台；②第二季度甲种机器台数+乙种机器台数=520 台，根据等量关系列出
方程组即可求解．
25. ( 10 分 ) （2020 七上·淮滨期末）某校为了做好大课间活动，计划用400 元购买10 件体育用品，备选体
育用品及单价如下表（单位：元）
备选体育用品篮
球
排球羽毛球拍
单价（元）
50
40
25
（1）若400 元全部用来购买篮球和羽毛球拍共10 件，问篮球和羽毛球拍各购买多少件？
（2）若400 元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10 件，能实现吗？（若能实现直接写出一种答
案即可，若不能请说明理由.）
【答案】 （1）解：设购买篮球x 件，则购买羽毛球（10-x）件.列式：50x+25（10-x）=400.
解得x=6,所以购买篮球6 件，羽毛球4 件.
（2）解：设购买篮球x 件，购买排球y 件，购买羽毛球拍z 件.
{
x + y + z =10
50 x + 40 y +25 z = 400
，把（1）式×50-（2）式=10y+25z=100.（y+z＜10）用列举排除法求值.
当y=1,2,3,4,5…求出当y=5 时，z=2.x=3.
【分析】（1） 设购买篮球x 件，则购买羽毛球（10-x）件 根据购买篮球的总价+购买羽毛球拍的总价
=400 即可列出方程，求解即可；
（2） 设购买篮球x 件，购买排球y 件，购买羽毛球拍z 件 ，根据购买篮球数量+购买排球的数量+购买
羽毛球拍的数量=10， 购买篮球的总价+购买排球的总价+购买羽毛球拍的总价=400， 列出方程，然后根
据x,y,z 都是正整数，求出该方程组的正整数解即可.
26. ( 5 分 ) （2019 七下·南县期末）某企业在“蜀南竹海”收购毛竹，直接销售，每吨可获利100 元，进行
粗加工，每天可加工8 吨，每吨可获利800 元；如果对毛竹进行精加工，每天可加工1 吨，每吨可获利
4000 元．由于受条件限制，每天只能采用一种方式加工，要求将在一月内（30 天）将这批毛竹93 吨全部
销售．为此企业厂长召集职工开会，让职工讨论如何加工销售更合算．
甲说：将毛竹全部进行粗加工后销售；
乙说：30 天都进行精加工，未加工的毛竹直接销售；
丙说：30 天中可用几天粗加工，再用几天精加工后销售；
请问厂长应采用哪位说的方案做，获利最大？
【答案】 解：（1）若将毛竹全部进行粗加工后销售，则可以获利93×800=74 400 元；（2）30 天都进行精
加工，可加工数量为30 吨，此时获利30×4000=120 000 元，
未加工的毛竹63 吨直接销售可获利63×100=6300 元，
因此共获利30×4000+63×100=126300 元；（3）设x 天粗加工，y 天精加工，则
， 解之得
所以9 天粗加工数量为9×8=72 吨，可获利72×800=57600 元，
21 天精加工数量为21 吨可获利21×4000=84000，因此共获利141600，
所以（3）＞（2）＞（1）， 即第三种方案获利最大．
点睛：此题关键是把实际问题抽象到解方程组中，利用方程组来解决问题，属于基础题型．得出等量关系
是解题的关键．
【分析】(1)、若将毛竹全部进行粗加工后销售，则获利为93×800 元；(2)、30 天都进行精加工，则可加工
30 吨，可获利30×4000，未加工的毛竹63 吨直接销售可获利63×100，因此共获利30×4000+63×100；(3)、
30 天中可用几天粗加工，再用几天精加工后销售，则可根据“时间30 天”，“共93 吨”列方程组进行解
答．
27. ( 10 分 ) （2020 七下·渝中期末）武汉新冠肺炎疫情发生后，全国人民众志成诚抗疫救灾.某公司筹集了
抗疫物资120 吨打算运往武汉疫区，现有甲、乙、两三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下
表所示： (假设每辆车均满载)
车型
甲乙丙
运载量（吨/辆）5
8
10
运费（元/辆）
450600700
（1）全部物资一次性运送可用甲型车8 辆，乙型车5 辆，丙型车________辆.
（2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600 元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14 辆，且一次性运完所有物资，
你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？
【答案】 （1）4
（2）解：设甲种车型需x 辆，乙种车型需y 辆，根据题意得：
{
5 x +8 y =120
450 x +600 y =9600
，
解得： { x =8
y =10
.
答：甲种车型需8 辆，乙种车型需10 辆.
（3）解：设甲车有a 辆，乙车有b 辆，则丙车有（14-a-b）辆，由题意得
5a+8b+10（14-a-b）=120，
即a=4 −2
5 b ，
a
∵、b、14-a-b 均为正整数，
b
∴只能等于5，
a=2
∴
，
14-a-b=7，
∴甲车2 辆，乙车5 辆，丙车7 辆，
则需运费450×2+600×5+700×7=8800（元），
答：甲车2 辆，乙车5 辆，丙车7 辆，此时的总运费为8800 元.
解：（1）（120-5×8-5×8）÷10=4（辆）.
答：丙型车4 辆.
故答案为：4；
【分析】（1）根据甲型车运载量是5 吨/辆，乙型车运载量是8 吨/辆，丙型车运载量是10 吨/辆，再根据
总吨数，即可求出丙型车的车辆数；
（2）设甲种车型需x 辆，乙种车型需y 辆，根据运费9600 元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解
即可；
（3）设甲车有a 辆，乙车有b 辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式，再根据a、b、14-a-b 均为正整数，
求出a，b 的值，从而得出答案.
28. ( 10 分 ) （2020 七下·温州期末）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈.某校欲购置规格
分别为 300ml 和 500ml 的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶.已知购买2 瓶甲和1 瓶乙免洗手消毒液需要
55 元，购买3 瓶甲和4 瓶乙免洗手消毒液需要145 元.
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价.
（2）该校在校师生共1000 人，平均每人每天都需使用10ml 的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗
手消毒液共花费5000 元，则这批消毒液可使用多少天?
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装.现需将9.6L 的免洗手消毒液全部装入最大容量分
别为 300ml 和 500ml 的两种空瓶中(每瓶均装满)，若分装时平均每瓶需损耗 20ml ，请问如何分装能
使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量.
【答案】 （1）解：设甲、乙两种免洗手消毒液单价分别为 x 元/瓶和 y 元/瓶
由题意得： { 2 x + y =55
3 x + 4 y =145
，解得： {x =15
y =25
，
答:甲、乙两种免洗手消毒液单价分别为15 元/瓶和25 元/瓶.
（2）解：设甲、乙两种免洗手消毒液各购买了 a 瓶和 b 瓶
由题意得: 15a+25b=5000 ，
∴300a+500b
1000×10
= 20(15a+25b)
1000×10
= 20×5000
1000×10 =10 (天)
答:这批消毒液可以用10 天
（3）解：设分装 300ml 和 500ml 的免洗手消毒液各m 瓶和n 瓶
由题意得: 300m+500n+20(m+n)=9600 ，
∴m=30−13
8 n .
∵ m,n 均为正整数
∴解得 {m=17
n=8
和 {m= 4
n=16
∵要使分装时总耗损 20(m+n) 最小
∴ {m= 4
n=16
即分装时需 300ml 的4 瓶， 500ml 的16 瓶才能使总损耗最小.
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x 元，乙种免洗手消毒液的单价为y 元，根据“购买2 瓶甲和
1 瓶乙免洗手消毒液需要55 元，购买3 瓶甲和4 瓶乙免洗手消毒液需要145 元”，即可得出关于x，y 的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液a 瓶，乙种免洗手消毒液b 瓶，根据总价=单价×数量，即可得出关于a，b
的二元一次方程，再结合可使用时间=免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；（3）设
分装300ml 的免洗手消毒液m 瓶，500ml 的免洗手消毒液n 瓶，根据需将9.6L 的免洗手消毒液进行分装且
分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n 的二元一次方程，结合m，n 均为正整数即可得出各分
装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论.
29. ( 11 分 ) （2020 七下·嘉兴期末）某商场经销A，B 两款商品，若买20 件A 商品和10 件B 商品用了
360 元；买30 件A 商品和5 件B 商品用了500 元.
（1）求A、B 两款商品的单价；
（2）若对A、B 两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640 元购买A 商品的数量比用224 元购买B
商品的数量少20 件，求对A、B 两款商品进行了几折销售？
（3）若对A 商品进行5 折销售，B 商品进行8 折销售，某顾客同时购买A、B 两种商品若干件，正好用完
49.6 元，问该顾客同时购买A、B 两款商品各几件？
【答案】 （1）解：设A 商品单价为x 元，B 商品单价为y 元.
根据题意，得： {20 x +10 y =360
30 x +5 y =500
解得 {x =16
y = 4
所以A 商品的单价是16 元，B 商品的单价是4 元.
（2）解：设打折后A、B 两款商品进的价格分别为16a 和4a，则
640
16a = 224
4a −20
解得a=0.8
经检验，a=0.8 为原方程的解且符合题意
所以A、B 两款商品进行了8 折销售
（3）解：设顾客购买A 商品m 件，B 商品n 件.则
8 m +3.2n= 49.6
m =6.2−0.4 n
m
∵、n 都为正整数
m=1,n=13
∴①
m=3,n=8
②
m=5,n=3
③
所以顾客购买A 商品1 件，B 商品13 件；或A 商品3 件，B 商品8 件；A 商品5 件，B 商品3 件.
【分析】（1）设A 商品单价为x 元，B 商品单价为y 元，根据题中“买20 件A 商品和10 件B 商品用了
360 元；买30 件A 商品和5 件B 商品用了500 元”可列出关于x，y 的二元一次方程组，求解即可；
（2）设打折后A、B 两款商品进的价格分别为16a 和4a，根据题中“用640 元购买A 商品的数量比用
224 元购买B 商品的数量少20 件”可列出关于a 的分式方程，求解即可；
（3）设顾客购买A 商品m 件，B 商品n 件，根据“同时购买A、B 两种商品若干件，正好用完49.6 元”
可得关于m，n 的二元一次方程，由m，n 都为正整数讨论其所有可能性即可.
