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让更多的孩子得到更好的教育
实际问题与二元一次方程组（二）（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；
2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（二）
1. 行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
2．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×12
1
.
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个
两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不
同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳
方案．
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
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（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的
结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、行程问题
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例7】
1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50 千米的速度行驶，就会
迟到24 分钟，如果他以每小时70 千米的速度行驶，则可提前24 分钟到达乙地，求甲乙两地
间的距离.
【思路点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+ 24
60 ）＝两地距离，
75×（规定时间－24
60 ）＝两地距离．通过解方程组即可得出两地间距离．
【答案与解析】
解：设规定的时间为x 小时，甲乙两地间的距离为y 千米. 则由题意可得：
解得：
答：甲乙两地间的距离为140 千米.
【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、
相向、同向等关键词．
举一反三：
【变式】已知一铁路桥长1000 米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过
完桥共用1 分钟，整列火车完全在桥上的时间为40 秒，求火车的速度及火车的长度．
【答案】
解：设火车速度为x m/s，火车长度为y m．根据题意，得：
60
1000
40
1000
x
y
x
y
①
②
解得:
20
200
x
y
答：火车速度是20m/s，火车的长度是200m．
类型二、存贷款问题
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2.（2015 春•高新区期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50 万元，每年需付
出4.4 万元利息，已知甲种贷款每年的利率为10%，乙种贷款每年的利率为8%，则该公司甲、
乙两种贷款的数额分别为多少？
【答案与解析】
解：设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x 万元、y 万元，
由题意得
解得：
，
答：该公司甲、乙两种贷款的数额分别为20 万元、30 万元．
【总结升华】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列方程组求解．
举一反三：
【变式】在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．
当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400 亿元，如果存款准备金率上调到8%时，
该银行可贷款总量将减少多少亿（ ）．
A.20 B.25 C.30 D.35
【答案】B
类型三、数字问题
3.小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在
另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？
【思路点拨】在后面多写一个0，实际就是扩大了10 倍．两个等量关系为：10×一个加数+另一
个加数=242；一个加数+10×另一个加数=341．
【答案与解析】
解：设原来的两个数分别为x 和y ，则：
10
242
10
341
x
y
x
y
，
解得
21
32
x
y
．
答：原来两个加数分别是21，32．
【总结升华】解决本题的关键是弄清在后面多写一个0，实际就是扩大了10 倍．
举一反三：
【变式】（2015 春•万州区校级月考）一个两位数十位上的数字是个位上的数字为2 倍，若交
换十位与个位上的数字，则所得新两位数与原数的和为99，则这个两位数是 ．
【答案】63．
解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，依题意有
，
解得
，
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10y+x=60+3=63．
答：这个两位数是63．
类型四、方案选择问题
4.（2016•徐州）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下
表，解决下列问题：
（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？
（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15 元，则有哪几种不同的购买
方案？
商品名
单价（元）
数量（个）
金额（元）
签字笔
3
2
6
自动铅笔
1.5
●
●
记号笔
4
●
●
软皮笔记本
●
2
9
圆规
3.5
1
●
合计
8
28
【思路点拨】
（1）利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28 元得出等式组成
方程组求出答案；
（2）根据题意设小丽购买软皮笔记本m 本，自动铅笔n 支，根据共花费15 元得出等式
m+1.5n=15，进而得出二元一次方程的解．
【答案与解析】
解：（1）设小丽购买自动铅笔x 支，记号笔y 支，根据题意可得：
，
解得：
，
答：小丽购买自动铅笔1 支，记号笔2 支；
（2）设小丽购买软皮笔记本m 本，自动铅笔n 支，根据题意可得：
m+1.5n=15，
∵m，n 为正整数，
∴
或
或
，
答：共3 种方案：1 本软皮笔记本与7 支记号笔；2 本软皮笔记本与4 支记号笔；3 本软皮
笔记本与1 支记号笔．
【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格
中数据得出正确等量关系是解题关键．
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144 例5】
举一反三：
【变式】联想集团某电脑公司有A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其价格分别为A 型电脑每台
6000 元，B 型电脑每台4000 元，C 型电脑每台2500 元，某市一中学计划将100500 元钱全部用
于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36 台，请你设计出几种不同的购买方案供该
校选择，并说明理由.
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【答案】
解：设从该公司购进A 型电脑x 台， B 型电脑y 台， C 型电脑z 台，则可分3 种情况考虑：
①只购进A 型电脑和B 型电脑，
不符合题意，舍去，此方案不可取.
②只购进A 型电脑和C 型电脑，
符合题意，此方案可取.
③只购进B 型电脑和C 型电脑，
符合题意，此方案可取.
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A 型电脑3 台和C 型电脑33 台；第二种方案
是购进B 型电脑7 台和C 型电脑29 台.
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