1
三元一次方程组
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1.掌握三元一次方程组的概念；
2.掌握三元一次方程组的解法；
3.理解三元一次方程组的特殊解法.
1．三元一次方程组的概念:
含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是_____,并且共有______方程,这样的方程组叫
做三元一次方程组.
注意:每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组______要含有三个未知数.
2.三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是______,其基本方法是______和______.
步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;
②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把
这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解.
注意：灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组.
参考答案：
1.1,三个,整体上
2.消元,代入法,加减法
1.三元一次方程组的一般解法
【例1】解方程组
【解析】对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪
个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不
乱”，为此归纳出：
（一）
消元的选择
1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；
2
2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。
（二）
方程式的选择
采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
【答案】解：
{3x−y+⃗z=4 ①∨¿{x+y+⃗z=6 ②Δ¿¿¿¿
（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）
①+③ 得5x+2y=16， ④ (体现第一次使用在①③后做记号√)
②+③ 得3x+4y=18， ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△)
由④.⑤得
解得
把x=2 ，y=3 代人②，得 z=1.
∴
是原方程组的解.
【例2】解方程组
{x+y+z=12 ①¿{x+2y+5z=22 ②¿¿¿¿
【解析】方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定
“消x”的目标。根据方程组的特点，归纳出此类方程组为：
类型一：有表达式，用代入法型.
针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①.②消z,也能达到消元构成二
元一次方程组的目的。
【答案】解法1：代入法，消x.
把③分别代入①.②得{5y+z=12 ④¿¿¿¿
解得
把y=2 代入③，得x=8.∴
是原方程组的解.
解法2：消z.
①×5 得 5x+5y+5z=60 ④
④-② 得 4x+3y=38 ⑤
3
由③.⑤得{x=4 y ③¿¿¿¿
解得
把x=8,y=2 代入①得z=2.
∴
是原方程组的解.
练习1．解下列方程组：
【答案】x=3，y=8，z=1
练习2．解方程组
【答案】解：①×3,得 6x＋18y＋9z=18④
②×2,得 6x＋30y＋14z=12⑤
⑤－④,得 12y＋5z=－6⑥
①×2，得4x＋12y＋6z=12⑦
⑦－③, 得21y＋2z=3⑧
由⑥和⑧组成方程组
，
解这个方程组，得
把y=
, z=－2 代入①，得2x＋6×
＋3×(－2)=6, ∴ x=5
∴
练习3．三元一次方程组
，消去未知数
后，得到的二元一次方程组是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
2
6
3
6
3
15
7
6
4
9
4
9
x
y
z
x
y
z
x
y
z
①
②
③
5
1
3
2
x
y
z
4
练习4.若三元一次方程组
的解使ax+2y-z=0，则a 的值是( ）
A.0 B.−8
3 C.8
3 D.-8.
【答案】B
2.三元一次方程组的相关变式题型
【例3】解方程组
【解析】
【答案】解：原方程组可化为
由（1）+（3），得
（4）
由（1）+（2）
，得
（5）
由（4）和（5）组成方程组，得
解这个方程组，得
把
代入（1），得
∴
∴
是原方程组的解
练习5.解三元一次方程组
{x+y−2z=5¿{2x−y+z=4¿¿¿¿
【答案】
{x=2¿{y=−3¿¿¿¿
练习6.如果
x+3
2 =y-1
3 =z-2
4
,且x+y+z=18，，则x+y-z( )
A.18 B.2 C.0 D.-2.
【答案】D
练习7.若a,b,c 都是不等于零的数，且
a+b
c
=b+c
a = c+a
b =k
，则k=( )
A.2 B.-1 C.2 或-1 D.不存在.
【答案】C
3.三元一次方程组之特殊型
1
3
4
2
3
10
3
2
9
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
)3
(3
4
2
3
)
2
(
10
3
2
)1(
9
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
6
3
4
z
x
2
29
7
5
z
x
)
5
(
29
7
5
)
4
(
6
3
4
z
x
z
x
2
3
z
x
2
,3
z
x
9
2
2
3
y
2
y
2
2
3
z
y
x
5
【例4】解方程组
{2x+y+z=15 ①¿{x+2y+z=16 ②¿¿¿¿
【解析】通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系
数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作
差
的方法较简洁地求出此类方程组的解。
【答案】解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，
即x+y+z=12 .④
①-④得 x=3，
②-④得 y=4，
③-④得 z=5，
∴
是原方程组的解.
练习8．解方程组
【答案】解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ，
即x+y+z=30 .④
④-①得 z=10，
④-②得 y=11，
④-③得 x=9，
∴
是原方程组的解.
练习9.方程组 的 解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
练习10. 若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z 的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
4.含有比的三元一次方程组
x ＋y ＝－1
x ＋z ＝0
y ＋z ＝1
x ＝－
1
y ＝
1
z ＝0
x ＝1
y ＝0
z ＝－1
x ＝0
y ＝1
z ＝－1
x ＝－
1
y ＝
0
z ＝1
6
【例5】（2014 云南曲靖中考）解方程组{x:y:z=1:2:7 ①¿¿¿¿
【解析】观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式
就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2 得y=2x； 由x:z=1:7 得z=7x.从而从形
式上转化为三元一次方程组的一般形式，即
，根据方程组
的
特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。
【答案】解法1：由①得y=2x，z=7x ，并代入②，得x=1.
把x=1，代入y=2x，得y=2；
把x=1，代入z=7x，得 z=7.
∴
是原方程组的解.
练习11．解方程组
{x+y+z=111①¿{y:x=3:2 ②¿¿¿¿
【解析】：观察此方程组的特点是方程②.③中未知项间存在着比例关系，由例3 的解题经验，
学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x =
y； 由③得z=
.从而利用
代入法求解。
【答案】
练习12.
【答案】
5.含参数的三元一次方程组
【例6】已知方程组
的解使代数式
的值等于
，求的
值。
【解析】解带参数的三元一次方程组，可把参数看成已知数进行运算，参数不影响运算。
)3
(
4
)
2
(
5
)1(
3
a
x
z
a
z
y
a
y
x
z
y
x
3
2
10
a
7
【答案】解：（2）－（1），得
（4）
（3）+（4），得
把
代入（2）和（3），得
∴
，把
代入
，
得
∴
∴ 所求a 的值为
练习13.己知x,y,z 满足方程组
，则x:y:z( )
A.1:1:1 B.1:1:2 C.1:2:3 D.1:3:2．
【答案】C
练习14.若方程组
的解x 和y 的值互为相反数,则K 的值等于
( )
A.0 B.1 C.2 D.3.
【答案】C
1.（2014 台湾中考）若a：b：c＝2：3：7，且a－b＋3＝c－2b，则c 值为何？（ ）
A．7
B．63 C．
D．
【答案】C
2.在方程5x－2y＋z＝3 中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.
【答案】4
3.（2014 四川自贡中考）已知单项式－8a3x＋y－z b12 cx＋y＋z 与2a4b2x－y＋3zc6，则x＝____，y＝
____，z＝_____.
【答案】
17
4 ，
−7
2 ，
21
4
4.解方程组 ,则x＝_____，y＝______，z＝_______.
【答案】6，8，3
5.（ 2014 广西玉林市.防城港市中考）
【答案】
{x=8¿{y=6¿¿¿¿
a
x
z
2
a
z
a
z
3
,
6
2
a
z
3
a
x
a
y
,
2
a
z
a
y
a
x
3
2
a
z
a
y
a
x
3
,
2
,
z
y
x
3
2
10
3
3
2
2
a
a
a
3
5
a
3
5
2
21
4
21
x ＋y －z ＝11
y ＋z －x ＝5
z ＋x －y
＝1
3
1
13
y
x
z
x
z
y
z
y
x
8
6.（2014 武汉中考）
【答案】
{x=7¿{y=9¿¿¿¿
7.
【答案】
{x=2¿{y=−1¿¿¿¿
8.
【答案】
{x=12¿{y=21¿¿¿¿
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_________________________________________________________________________________
1．已知a、b 都是有理数，观察下表中的运算，在空格处填上数．
a、b 的运算
a+b
a-b
运算的结果
-49
-97
【答案】-3
2．若方程组
的解与x 与y 相等，则a 的值等于（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
【答案】C
3．已知方程组
的解x 和y 的和等于6，k=_______．
【答案】
10
12
16
x
z
z
y
y
x
3
5
3
5
13
4
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
30
3
2
5
:
3
:
7
:
4
:
z
y
x
z
x
y
x
1
a
b
4
3
1
(
1)
3
x
y
ax
a
y
2
2
3
3
1
x
y
k
x
y
k
7
2
9
4.甲、乙两位同学一起解方程组
，甲正确地解得
，乙仅因抄错了题中的
c，解得
，求原方程组中a.b.c 的值．
【答案】a=
，b=
，c=-5
5．已知
，求
的值．
【答案】7
6.解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对
【答案】D
7．方程组 的 解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z 的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
9．若方程组 的解x 与y 相等，则a 的值等于（ ）
A.4 B.10 C.11 D.12
【答案】C
2,
3
2
ax
by
cx
y
1
1
x
y
2
6
x
y
5
2
1
2
2
3
2
x
y
a
x
y
a
x
y
x ＋y －z ＝11
y ＋z －x ＝5
z ＋x －y
＝1
x ＋y ＝－1
x ＋z ＝0
y ＋z ＝1
x ＝－
1
y ＝
1
z ＝0
x ＝1
y ＝0
z ＝－1
x ＝0
y ＝1
z ＝－1
x ＝－
1
y ＝
0
z ＝1
4x ＋3y ＝1
ax ＋（a －1 ）y
＝3
课程顾问签字： 教学主管签字：
