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二元一次方程组
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1.掌握二元一次方程的定义和定义的应用；
2.会用消元法解二元一次方程组；
3.理解二元一次方程组的其它解法.
1.二元一次方程的定义：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程
叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组的定义：把具有______未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一
个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元
一次方程的解，二元一次方程有_______个解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程
组的解。
5.代入消元法解二元一次方程组：
（1）基本思路：未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示
出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入
消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另
一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”
②将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”。
③解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”。
④把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”
⑤把x、y 的值用｛联立起来即“联”
2
6.加减消元法解二元一次方程组
（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数___________时，把这两个方程的两边分别
相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称
加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适
当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即 “加
减”。
③解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
④将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即
“回代”。
⑤把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
1.二元一次方程的定义
【例1】下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．3x-y2=0 B．
+
1
y =1 C．
-
y=6 D．4xy=3
【解析】考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1 的整
式方程叫二元一次方程。所以满足三个条件：①方程中有且只有一个未知数；②
方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。
【答案】C
【例2】已知方程（m+2）x|m|-1+（n-3）yn2-8=5 是关于x、y 的二元一次方程，求m2+2mn+n
的值．
【解析】含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若axm+byn=c 是二元
一次方程，则a≠0，b≠0 且m=1,n=1。
【答案】解：已知方程（m+2）x|m|-1+（n-3）yn2-8=5 是关于x、y 的二元一次方程，
则|m|-1=1，m+2≠0；n2-8=1，n-3≠0，
所以m=2，n=-3．
故m2+2mn+n2=1．
练习1．下列各式是二元一次方程的是（ ）.
练习2．若
是关于
的二元一次方程
的一个（组）解，则
的值为（
）
A.3 B.4 C.4.5 D.6
练习3.已知方程2xm+2+3y1-2n=17 是二元一次方程，求m，n 的值．
练习4.已知关于x,y 的二元一次方程（2m-4)xm2－3+(n+3)y|n|-2 =6,求m,n 的值
练习5.已知方程 （a-2）x（|a|-1） - （b+3）y（b2-8） = 3 是关于x、y 的二元一次方程，求
a、b 的值。
2.二元一次方程组的定义
3
【例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A.
【解析】考查二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方
程组。
注意三条：
①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
【答案】A
练习6. 有下列方程组：（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
其中说法正确的是（ ）.
A.只有（1）、（3）是二元一次方程组 B.只有（3）、（4）是二元一次方
程组
C.只有（4）是二元一次方程组 D.只有（2）不是二元一次方程组
练习7.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A.{x+y=4¿¿¿¿
B.{x+y=5¿¿¿¿C.
D.
3.方程解的定义
【例4】已知
是关于x,y 的二元一次方程组
的解，求2a+b 的值．
【解析】考查方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。方程组的解的定
义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。
【答案】解：把
代入二元一次方程组
得a=2，b=-4,2a+b=0
练习8．下列哪组数是二元一次方程组
的解（ ）
练习9.已知
是二元一次方程组
的解，则
的值为。
4.二元一次方程组的解法
【例5】 解方程组：
【解析】运用代入法，把①代入②，可得出x，y 的值；
2
2
8
4
2
3
11
9
.
.
.
2
3
7
5
4
6
2
4
x
y
x
y
a
b
x
B
C
D
x
y
b
c
y
x
x
y
6
2
3
1
y
x
x
1
y
x
xy
y
x
1
2
x
y
2
6
3
5
ax
y
x
by
4
【答案】解：（1）
由①，得x=4+y③，
代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，
所以y=﹣
，
把y=﹣
代入③，得x=4﹣
= ．
所以原方程组的解为
．
【例6】用加减法解方程组
【解析】用加减法解二元一次方程组时，必须使方程组中①②两方程所含同一个未知数的
系数相同或互为相反数．现在该方程组不具备这个条件，所以我们要想办法转化成这样的条件．
方法一：观察x 的系数：②中x 的系数是①中的3 倍，所以可得①×3，使x 的系数相等，然后减
去②，可消去x；方程二：观察y 的系数：①中y 的系数是②中的2 倍，所以可将②×2，便y 的
系数互为相反数，再与①相加可消去y，两种方法皆可达到消元的目的．
【答案】解：②×2，得6x-2y=-2 ③
③+①得，7x=7,x=1
把x=1 代入①，得1+2y=9，2y=8，y=4
所以
是原方程组的解．
练习10.
；
练习11．选择适合的方法解下列方程组：
练习12.解方程组：
练习13.在解方程组
时，小明把c 看错了得
，而他看后面的正确答案是
，则a= ，b= ，c= ．
2
9
3
1
x
y
x
y
1
4
x
y
2(
2 )
4
3
7
9
:
2:5
(1)
(2)
(3)
2
2
4
7
5
500
250
22 500 000
x
x
y
x
y
x y
x
y
x
y
x
y
5
1.若关于x、y 的方程
是二元一次方程，那么
、b 的值分别是( )
A．1、0 B．0、－1 C．2、1 D．2、－3
2. 已知
和
都是方程
的解，则
和
的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3.若方程组
的解中
与
的值相等，则
为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
4.已知方程组
和
有相同的解，则
，
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5. 已知二元一次方程
的一个解是
，其中
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
6.如图,将长方形ABCD 的一角折叠,折痕为AE,∠BAD 比∠BAE 大180,设∠BAE 和∠BAD 的度数
分
别为x , y ,那么x , y 所适合的一个方程组是( )
A.
B.
C.
D.
7.若
，则
的值为（ ）
A.15 B.
C.
D.无法确定
8. 在方程
中，用含
的代数式表示
，得
．
9. （2014 山东烟台中考）按如图的运算程序，能使输出结果为3 的x，y 的值是（ ）
2
2
11
a b
a b
x
y
a
6
A．x=5，y=﹣2
B． x=3，y=﹣3 C． x=﹣4，y=2 D．x=﹣3，
y=﹣9
10. 下列方程：①
；②
；③
；④
；
⑤
；⑥
．其中是二元一次方程的是
．
11. 若方程
是二元一次方程，则
，
．
12. 方程
的所有非负整数解为______：
13. 若
，则
．
14. 若
，则
．
15.解下列方程组
(1){2x+3y=40¿¿¿¿ （2）
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1．当x=3 时，对于二元一次方程3x+2y=8，y= 。
2.用代入法解方程组
时，代入正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知方程
，用含
的代数式表示y 为：y=________。
4.方程组
的解为________。
5.乙组人数是甲组人数的一半，且甲组人数比乙组多15 人。设甲组原有x 人，乙组原有y
人，则可得方程组为 。
8
4
y
x
x
3
8
y
x
y
x
7
6.（2014 浙江杭州一中期中）设实数x、y 满足方程组
，则x+y=
7.若
，则
。
8.（2014 山东枣庄一中期中）已知x、y 是二元一次方程组
的解，则代数式x2﹣
4y2的值为_______.
9.（2014 娄底一中期中）方程组
的解是（ ）
A. x−2=xy B.
5x+ 1
y
=3
C.6x−2y=5 D.{x−y=1¿¿¿¿
10.下列属于二元一次方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.下列方程组中，是二元一次方程组的为（ ）
A. B.
C. D.
12.方程组
的解为（ ）
A.
B.
C.
D.
13.若方程组
的解是
，那么a、b 的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
14.（2014 江西抚州一中期中）已知
、
满足方程组
，则
的值为
（ ）
A. 8 B. 4 C. -4 D. -8
15. 16.
0
)
2
(
|
6
|
2
y
x
x
y
x
z
y
x
2
3
xy
x
2
3
1
5
y
x
5
2
6
y
x
3x-y=1
y=x+3
x=y+2
xy=1
1
1
y
x
x2-x=2
y=1+x
10
4
3
1
y
x
y
x
1
1
y
x
1
2
y
x
5
4
y
x
4
2
y
x
1
0
by
x
y
ax
1
1
y
x
0
,1
b
a
2
1
,1
b
a
0
,1
b
a
0
,
0
b
a
y=x-2
2x+y=7
8
17.
18.
19.
20.（2014 山东威海一中期中）解方程组：
2x-3y=10
-4x+y=-5
课程顾问签字： 教学主管签字：
