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实际问题与二元一次方程组（一）（提高）知识讲解
责编:杜少波
【学习目标】
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程
组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
=
100%
利润
利润率进价
.
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所
列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要
相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的
结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1.在一次数学测验中，甲、乙两校各有100 名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生
的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为
57％，女生的优分率为37％．
(男(女)生优分率＝
(
)
100%
(
)
男女生优分人数
男女生测试人数
，全校优分率＝
100%
全校优分人数
全校测试人数
)
(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?
(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终
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的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．
【思路点拨】 (1)求甲校参加测试的男、女生人数需设两个未知数，故可建立二元一次方程组
求解．(2)由于甲校男、女生的优分率相应高于乙校的男、女生的优分率，要使乙校的全校优
分率比甲校的全校优分率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校的优分率．
【答案与解析】
解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x 人，女生人数是y 人．
由题意可列方程组：
100
60%
40%
49.6% 100
x
y
x
y
解之得：
48
52
x
y
．
答：甲校参加测试的男生有48 人，女生有52 人．
(2)如：乙校男生有70 人，女生有30 人，则乙校的全校优分率为
70 57%
30 37% 100%
51%
100
．51％＞49.6％
(说明：只要所举例子中男生人数多于63 人，且女生优分率合适，即可得全分．)
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列
出方程组，再求解．本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，
才满足甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低．
举一反三：
【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009 年正式开始．某经销商在政策
出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960 台，政策出台后的第一个月售出这
两种型号的汽车共1228 台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增
长30％和25%．
(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?
(2)若手动型汽车每台价格为8 万元，自动型汽车每台价格为9 万元．根据汽车补贴政策，政
府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228
台汽车用户共补贴了多少万元？
【答案】
解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x 辆，自动型汽车为y 辆，
由题意可得：
960
(1 30%)
(1
25%)
1228
x
y
x
y
解之得：
560
400
x
y
．
答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560 辆，自动型汽车为400 辆．
(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元)
答：政策出台后的第一个月，政府对这1228 台汽车用户共补贴了516.2 万元．
类型二、配套问题
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2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排
他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动
时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？
【答案与解析】
解：设女生x 人，男生y 人，由题意得：
3
4
40
2
3
2(
4)
68
2
x
y
x
y
解得：
21
32
x
y
答：这个班的男生有32 人，女生有21 人.
【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关
系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68 个和40 根扁担，从而列出方程组，解出即可．
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例2 练习】
举一反三：
【变式】某工厂有工人60 人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺
栓14 个或螺母20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母
刚好配套？
【答案】
解：设分配x 人生产螺栓，y 人生产螺母，则根据题意可得：
答：应分配25 人生产螺栓，35 人生产螺母.
类型三、工程问题
3. （2015 春•定陶县期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可
以完成，需付两组费用共3520 元，若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，
需付费用3480 元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12 天，乙单独完成需24 天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200 元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商
店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）
【思路点拨】（1）本题的等量关系是：甲做8 天需要的费用+乙作8 天需要的费用=3520 元．
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甲组6 天需付的费用+乙做12 天需付的费用=3480 元，由此可得出方程组求出解．
（2）根据（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的费用，然后分别计算出甲单独做12 天需要
的费用，乙单独做24 天需要的费用，让两者进行比较即可．
（3）本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出
的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案．
【答案与解析】
解：（1）设：甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店付y 元．
由题意得
解得
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300 元和140 元．
（2）单独请甲组需要的费用：300×12=3600 元．
单独请乙组需要的费用：24×140=3360 元．
答：单独请乙组需要的费用少．
（3）请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600 元，少赢利200×12=2400 元，相当于损失6000 元；
乙单独做，需费用3360 元，少赢利200×24=4800 元，相当于损失8160 元；
甲乙合作，需费用3520 元，少赢利200×8=1600 元，相当于损失5120 元；
因为5120＜6000＜8160，
所以甲乙合作损失费用最少．
答：甲乙合作施工更有利于商店．
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：甲
做8 天需要的费用+乙作8 天需要的费用=3520 元．列出方程组，再求解．
类型四、利润问题
4.（2016•黄冈模拟）甲、乙两件服装的成本共500 元，商店老板为获取利润，将甲服装
按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定
价的9 折出售，这样商店共获利157 元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【思路点拨】设甲服装的成本是x 元，则乙服装的成本是y 元，根据“甲、乙两件服装共获利
157 元、将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，两件服装均按定价的9 折出
售，这样商店共获利157 元”，列方程组解决问题．
【答案与解析】
解：设甲服装的成本是x 元，则乙服装的成本是y 元，依题意有
解得：
答：甲服装的成本为300 元，乙服装的成本为200 元．
【总结升华】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系列出方程组，再求解．
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让更多的孩子得到更好的教育
举一反三：
【变式】（2015 春•宁城县期末）为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙
两种服装的原单价共位880 元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价
共为684 元，则甲、乙两种服装的原单价分别是多少？
【答案】
解：设甲、乙两种服装的原单价分别是x 元、y 元．
根据题意，得：
，
解得：
，
即：甲、乙两种服装的原单价分别是480 元、400 元．
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