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实际问题与二元一次方程组（二）（基础）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；
2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（二）
1. 行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
2．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×12
1
.
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个
两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不
同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳
方案．
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的
结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、行程问题
1. A、B 两地相距480 千米，一列慢车从A 地开出，一列快车从B 地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3 小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA 方向)而
行，那么快车12 小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l 小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．
(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．
“同时开出同向而行”可用下图表示．
(2)慢车先开出1 小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．
【答案与解析】
解：(1)设快车和慢车的速度分别为x 千米/时和y 千米/时．
根据题意，得3
3
480
12
12
480
x
y
x
y
，
解得
100
60
x
y
答：快车和慢车的速度分别为100 千米/时和60 千米/时．
(2)设快车开出x 小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，
根据题意，得60(x+1)+100x＝480．
解得
5
2 8
x
．
答：快车开出
5
2 8 小时两车相遇．
【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、
相向、同向等关键词．
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144 例6】
举一反三：
【变式】两列火车从相距810km 的两城同时出发，出发后10h 相遇；若第一列火车比第二列火
车先出发9h，则第二列火车出发5h 后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
【答案】
解：设这两列火车的速度分别为x km/h，y km/m．
由题意得，
答：这两列火车的速度分别为45 km/h 和 36 km/h．
类型二、存贷款问题
2. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷
款，共13 万元，徐先生每年须付利息6075 元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利
率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13 万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的
年利息＝6075 元.
【答案与解析】
解：设甲，乙两种贷款分别是x，y 元，根据题意得：
130000
6%
3.5%
6075
x
y
x
y
解得：
61000
69000
x
y
答：甲，乙两种贷款分别是61000 元和69000 元．
【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.
类型三、数字问题
3.（2016 春•海口校级月考）一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对
调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（ ）
A．92 B．38
C．47
D．29
【思路点拨】设这个两位数十位为x，个位为y，根据个位数字与十位数字之和为11，把这个两
位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，列方程组求解．
【答案】D．
【解析】解：设这个两位数十位为x，个位为y，
由题意得，
，
解得：
，
则这个两位数为：29．
故选：D．
【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：
两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．
举一反三：
【变式】（2015 春•和县期末）一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位
数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）
A．16
B．25
C．52
D．61
【答案】A
解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），
由题意，得
，
解得
．
所以这个两位数是：10×1+6=16．
类型四、方案选择问题
4. （2015 春•邵阳县期末）某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3 大箱、2 小箱共92
瓶；5 大箱、3 小箱共150 瓶．求：
①2 大箱、5 小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48 元、25 元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买
哪种包装的饮料更合算？
【思路点拨】①设大箱一共有x 瓶，小箱有y 瓶，根据3 大箱、2 小箱共92 瓶；5 大箱、3 小箱共
150 瓶即可列出二元一次方程组求出即可；
②利用①中所求分别求出平均每瓶的价格进而得出答案．
【答案与解析】
解：①设大箱一共有x 瓶，小箱有y 瓶，
根据题意可知3 大箱、2 小箱共92 瓶，
可列式为3x+2y=92，
又知5 大箱、3 小箱共150 瓶，
故可列式为5x+3y=150，
即列方程组为
，
解得：
，
故2 大箱有24×2=48（瓶）、5 小箱有饮料：10×5=50（瓶），
答：2 大箱有48 瓶、5 小箱有饮料50 瓶；
②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48 元、25 元，
∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），
小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），
所以买大箱合算．
【总结升华】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题意，要注意
抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144 例1】
举一反三：
【变式】某高校共有5 个大餐厅和2 个小餐厅，经过测试同时开放1 个大餐厅、2 个小餐厅，可
供1680 名学生就餐；同时开放2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供2280 名学生就餐.
（1）求1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7 个餐厅同时开放，能否供全校的5300 名学生就餐？请说明理由.
【答案】
解：(1)设1 个大餐厅可供x 名学生就餐，1 个小餐厅可供y 名学生就餐.则根据题意可得：
解得：
960
360
x
y
答：1 个大餐厅可供960 名学生就餐，1 个小餐厅可供360 名学生就餐.
2 5 960
2 360
5520
5300
∴能供全校的5300 名学生就餐.
