实际问题与一元一次方程（一）（基础）知识讲解_20190524133902_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

实际问题与一元一次方程（一）（基础）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题

分析
抽象
方程
求解
检验
解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关
系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边
是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即
可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）
1．和、差、倍、分问题
  （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，
增长率等．
2．行程问题
  （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 
　（2）基本类型有： 
　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
                            Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路
程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速
度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画
草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
   寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．（2016•黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到
征文118 篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2 篇，求七年级
收到的征文有多少篇？
【思路点拨】设七年级收到的征文有x 篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇．结合七年级收
到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2 篇，即可列出关于x 的一元一次方程，
解方程即可得出结论．
【答案与解析】解：设七年级收到的征文有x 篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇，
依题意得：（x+2）×2=118﹣x，
解得：x=38．
答：七年级收到的征文有38 篇．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本
题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
举一反三：
【变式】（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100 台计算机，已知今年购置计算机数
量是去年购置计算机数量的3 倍，今年购置计算机的数量是（　　）
　
A．25 台
B．50 台
C．75 台
D．100 台
【答案】C．
解：设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，
根据题意可得：x=3（100﹣x），
解得：x=75．
类型二、行程问题
1.一般问题
2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4 千米，那么走完预订时间离县城还有
0.5 千米，如果他每小时走5 千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城
的距离是多少千米?
【答案与解析】    
解：设小山娃预订的时间为x 小时，由题意得：
    4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．
    所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．
    答：学校到县城的距离是12.5 千米．
【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而
是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．
举一反三：
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10 千米/时，下坡的速度为20 千米/时，
求汽车的平均速度．
【答案】
解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为x 千米/时，则上坡行驶的时间为10
a
小时，下
坡行驶的时间为
20
a 小时．依题意，得：
2
10
20
a
a
x
a








，
化简得： 3
40
ax
a

．
显然a≠0，解得
1
133
x 
．
答：汽车的平均速度为
1
133
千米/时．
2.相遇问题（相向问题） 
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)   388410  相遇问题】
3． A、B 两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地出发相向而行，甲的速度
是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h 后，乙从B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案与解析】
解:设甲经过x 小时与乙相遇.
   由题意得：


23 1
23
21 (
1)
100
x




． 
      解得，x=2.75．
答：甲经过2.75 小时与乙相遇．
【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km
举一反三：
【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2 小时相遇，每小时甲比乙
多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?
【答案】
解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶(x+2.5)千米，根据题意，得：
2(
2.5)
2
45
x
x



．
解得：
10
x 
．
2.5
10
2.5
12.5
x 



（千米）
答：甲每小时行驶12.5 千米，乙每小时行驶10 千米
3.追及问题（同向问题）
4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5 千米/时的速度行进，走了18 分钟时，
学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14 千米/时的速度按原路追
上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?
【答案与解析】
解：设通讯员x 小时可以追上学生队伍，则根据题意，
得
18
14
5
5
60
x
x


．
得：
1
6
x 
， 1
6 小时=10 分钟．
答：通讯员用10 分钟可以追上学生队伍．
【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x 表示小时，18 表示分钟，
两边单位不一致，应先统一单位．
4.航行问题（顺逆流问题） 
5．一艘船航行于A、B 两个码头之间，轮船顺水航行需3 小时，逆水航行需5 小时，已知
水流速度是4 千米/时，求这两个码头之间的距离．
【答案与解析】
解法1：设船在静水中速度为x 千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的
速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，
（16+4）×3=60（千米）． 
答：两码头之间的距离为60 千米．
解法2：设A、B 两码头之间的距离为x 千米，则船顺水航行时速度为3
x
千米/时，逆水航行时
速度为5
x
千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：
4
4
3
5
x
x



，解得：
60
x 
．
答：两码头之间的距离为60 千米．
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的
距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆
风问题，解题思路类似顺逆流问题．
类型三、工程问题
6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10 小时可以注满水池；甲管单独开15
小时可以注满水池，现两管同时注水7 小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注
满水池?
【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x 小时可以注满水池；那么甲乙合注1 小
时注水池的1
10 ，甲管单独注水每小时注水池的1
15 ，合注7 小时注水池的7
10 ，乙管每小时注
水池的
1
1
10
15







．
【答案与解析】 
解：设乙管还需x 小时才能注满水池．
    由题意得方程：
1
1
7
1
10
15
10
x








．
    解此方程得：x＝9．
    答：单独开乙管，还需9 小时可以注满水池．
【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为
“1” ．
举一反三：
【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14 天，乙单独完成需18 天，丙单独完
成需12 天，前7 天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问
乙中途离开了几天?
【答案】
解：设乙中途离开x 天，由题意得：
1
1
1
7
(7
2)
2
1
14
18
12
x







．
解得：
3
x 
．
答：乙中途离开了3 天．
类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）
7．（2015 春•衡阳校级月考）某班分两组去两处植树，第一组22 人，第二组26 人．现第
一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数
是第二组的2 倍？设抽调x 人，则可列方程（　　）
　
A．22+x=2×26
B．22+x=2（26﹣x）C．2（22+x）=26﹣x D．22=2（26﹣x）
【思路点拨】设抽调x 人，则调后一组有（22+x）人，第二组有（26﹣x）人，根据关键语句：使第
一组的人数是第二组的2 倍列出方程即可．
【答案】B．
【解析】
解：设抽调x 人，由题意得：
（22+x）=2（26﹣x），
【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出
调后两个组的人数．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)   388410 调配问题】
【变式】甲队有72 人，乙队有68 人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队
人数的3
4
 .
解：设从甲队调出x 人到乙队.由题意得，


3
72
68
4
x
x



．
    解得，x=12.
答：需要从甲队调出 12 人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的3
4
 .