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实际问题与一元一次不等式（基础）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；
2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
=
100%
利润
利润率进价
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：
3
2
10
10
10
abcd
a
b
c
d
.
【高清课堂：实际问题与一元一次不等式409415 小结：】
要点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个
步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键
字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
要点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至
少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的
文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11 辆 B 型车 ”．这
一点应十分注意．
【典型例题】
类型一、行程问题
1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战
士在施工时能跑到100m 以外（包括100m）的安全地区，导火索至少需要多长？
【思路点拨】设导火索要xcm 长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，
为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m 的安全地区，可列不等式求解．
【答案与解析】
解：设导火索要xcm 长，根据题意得：
100
0.8
5
x ≥
解得：
16
x
答：导火索至少要16cm 长．
【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m 的安全距离作为
不等量关系列不等式求解．
类型二、工程问题
2.一个工程队规定要在6 天内完成300 土方的工程，第一天完成了60 土方，现在要比
原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要完成多少土方？
【思路点拨】假设以后几天平均每天完成x 土方，一个工程队规定要在6 天内完成300 土方的
工程，第一天完成了60 土方，那么该土方工程还剩300-60=240 土方，现在要比原计划至少提
前两天完成任务，说明至多4 天完成任务，用去一天，还剩4-1=3（天）则列不等式240
3
x ≤
解得x 即可知以后平均每天至少完成多少土方．
【答案与解析】
解：设以后几天平均每天完成x 土方．由题意得：
300
60
6
2 1
x
≤
解得： x≥80
答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80 土方．
【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为基准列不
等式．
【高清课堂：实际问题与一元一次不等式409415 例3】
举一反三：
【变式】（2014 春•常州期末）某人计划20 天内至少加工400 个零件，前5 天平均每天加工了
33 个零件，此后，该工人平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内完成任务？
【答案】解：设以后平均每天加工x 个零件，
由题意的：5×33+（20﹣5）x≥400，
解得：x≥
．
∵x 为正整数，
∴x 取16．
答：该工人以后平均每天至少加工16 个零件．
类型三、利润问题
3.水果店进了某种水果1t，进价是7 元/kg．售价定为10 元/kg，销售一半以后，为了尽
快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000 元，那么余下的水果至少可以按原定价
的几折出售？
【答案与解析】
解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售,根据题意得：
1t＝1000kg
1000
1000
(10
7)
(10
7)
2000
10
2
2
x
≥
解得：
8
x≥
答：余下的水果至少可以按原定价的8 折出售．
【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润作为不等量关系列不等式．
举一反三：
【变式】某商品的进价为1000 元，售价为2000 元，由于销售状况不好，商店决定打折出售，但
又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折．
【答案】六.
类型四、方案选择
4.（2015•庆阳）某体育用品专卖店销售7 个篮球和9 个排球的总利润为355 元，销售
10 个篮球和20 个排球的总利润为650 元．
（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；
（2）已知每个篮球的进价为200 元，每个排球的进价为160 元，若该专卖店计划用不超过
17400 元购进篮球和排球共100 个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店
设计符合要求的进货方案．
【思路点拨】
（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，根据题意得到方程组；
即可解得结果；
（2）设购进篮球m 个，排球（100﹣m）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【答案与解析】
解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，
根据题意得：
，
解得：
，
答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25 元，20 元；
（2）设购进篮球m 个，排球（100﹣m）个，
根据题意得：
，
解得：
≤m≤35，
∴m=34 或m=35，
∴购进篮球34 个排球66 个，或购进篮球35 个排球65 个两种购买方案．
【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解
题的关键．
