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第二十一章 一元二次方程 （能力提升）
考试时间：120 分钟
一、选择题（每小题3 分，共36 分）
1、若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根,则一次函数
的
大致图象可能是
D
C
B
A
O
O
O
O
x
y
x
y
x
y
y
x
2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了
原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，
若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是
A.
B.
C.
D.
3、根据下列表格中代数式
与的对应值，判断方程
的一个根
的大致范围是( )
6.17
6.18
6.19
6.20
－0.03
－0.01
0.02
0.06
A．6< x <6.17 B．6.17< x <6.18 C．6.18< x <6.19 D．6.19< x <6.20
4.已知2 是关于x 的方程x2﹣2mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形
ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）
A． 10
B． 14
C． 10 或14
D．
8 或10
5．已知
分别是三角形的三边长，则一元二次方程
的根的
情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6、方程
的全体实数根之积为（ ）
A、60 B、
C、10 D、
7、若方程
是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）．
A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对
8、我们解一元二次方程3x2
6
﹣x=0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x
2
﹣）=0，从而
得到两个一元一次方程：3x=0 或x
2=0
﹣
，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学
思想是（ ）
A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想
9、定义：如果一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
满足
0
a
b
c
，那么我们称这个方程为
“凤凰”方程. 已知
2
0(
0)
ax
bx
c
a
是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结
论正确的是
A．a
c
B．a
b
C．b
c
D． a
b
c
10、小刚在解关于x 的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．
他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，则原方程的根的情况是
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数
根
11、有两个一元二次方程：M：
2
0
ax
bx
c
，N：
2
0
cx
bx
a
，其中
0
a
c
，以下列
四个结论中，错误的是( )A、如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等
的实数根；
B、如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同；
C、如果5 是方程M 的一个根，那么1
5
是方程N 的一个根；[来源:学§科§网Z§X§X§K]
D、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是
1
x
.
12、已知实数m，n 满足
，
，则
（ ）.
A、
B、2009 C、－2009 D、
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
13．如图，在一块长12m，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路
各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根
据题意，可列方程为__________．
14、等腰三角形三边长分别为
，且
是关于
的一元二次方程
的
两根，则
的值为 ．
15、对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=
．例如4﹡2，因为4＞2，所以4
﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0 的两个根，则x1﹡x2=
16、已知关于x 的方程
的两根分别为
和1，则方程
的两根为 .
17 、如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3 ，n2﹣n=3 ，那么代数式2n2﹣
mn+2m+2020= ．
18、如果关于x 的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，
则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正
确说法的序号）．
①方程
是倍根方程；
②若
是倍根方程，则
；
③
，则关于
的方程
是倍根方程；
④若方程
是倍根方程，且，则方程
的一个根为
．
三、解答题（共46 分）
19.（6 分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtABC 和
RtBED 的边长，已知
，这时我们把关于 x 的形如
二次方程称为
“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”
，必有实数根；(3)若 x 1是“勾系一元二次方程”
的一
个根，且四边形 ACDE 的周长是6
，求ABC 的面积．
20、（8 分）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120 元的价格进货．
[来源:学科网ZXXK]
（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140 元时，月均销量为980 个，售价每增长10 元，
月均销量就相应减少30 个，若使这种背包的月均销量不低于800 个，每个背包售价应不高于多少
元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150 元，
而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800
个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000 元，求在实际销售过程中每个背包
售价为多少元？
21、（8 分）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。
例：解方程
2
1
1
0
x
x
解：(1)当
1
0
x
即
1
x 时．
1
1
x
x
，
原方程化为
2
(
1) 1
0
x
x
，即
2
0
x
x
，解得
1
2
0
1
x
x
，
．
∵
1
x ，故
0
x
舍去，
1
x
是原方程的解
(2)当
1
0
x
即
1
x 时．
1
(
1)
x
x
， [来源:学§科§网]
原方程化为
2
(
1) 1
0
x
x
，即
2
2
0
x
x
，解得
1
2
1
2
x
x
，
．
∵
1
x ，故
1
x
舍去，
2
x 是原方程的解．
综上所述，原方程的解为
1
2
1
2
x
x
，
。
解方程：
2
2
2
4
0
x
x
22. （8 分）关于x 的一元二次方程x2﹣3x+k＝0 有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k
是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0 与方程x2﹣3x+k＝0 有一个相
同的根，求此时m 的值．
23．(8 分)阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它
转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一
元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于
“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共
同的基本数学思想
转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过
因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0 和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0 的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0 的解是x1=0,x2=
，
x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程
的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m 的绳子
的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草
坪边沿PD、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP 的长．
24．(8 分)实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每
次抽奖时可以从100 张面值分别为1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次
任意抽取2 张、3 张、4 张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了
一次抽取5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，
这
个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决
问题的方法．
探究一：（1）从1，2，3 这3 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2 个整数
1，2
1，3，
2，3
2 个整数之和
3
4
[来源:Z+xx+k.Com]
5
如表①，所取的2 个整数之和可以为3，4，5，也就是从3 到5 的连续整数，其中最小是3，最大
是5，所以共有3 种不同的结果．
（2）从1，2，3，4 这4 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2 个整数
1，2
1，
3，
1，4
2，3
2，4
3，4
[来源:学#
科#网Z#X#X#K]
2 个整数之和
3
4
5
5
6
7
如表②，所取的2 个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3 到7 的连续整数，其中最小是
3，最大是7，所以共有5 种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共
有______种不同的结果．
探究二：（1）从1，2，3，4 这4 个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有___ 种不同的结
果．
（2）从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共
有______种不同的结果．
探究三：从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取4 个整数，这4 个整数之
和共有______种不同的结果．
归纳结论：从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100 张面值分别为1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5 张
奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36 这36 个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204 种
不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整
数，这
个整数之和共有______种不同的结果．
