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1
一元二次方程的判别式 题集【A】
1.
【解析】
【标注】
方程
的判别式的值等于 ．
【答案】
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
2.
【解析】
【标注】
一元二次方程
的根的情况为（ ）．
【答案】B
根据题意
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【知识点】一元二次方程根的判别式
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
下列一元二次方程中没有实数根是（ ）．
【答案】D
A．
，方程有两个不相等的实数根．
B．
，方程有两个相等的实数根．
C．
，方程有两个不相等的实数根．
D．
，方程没有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式
A. 方程有两个不相等的实数根
B. 方程有两个相等的实数根
4. 方程
的根的情况是（ ）．
2
C. 方程没有实数根
D. 方程的根的情况与的取值有关
【解析】
【标注】
【答案】A
由方程
可得
，
∴方程有两个不相等的实数根，故答案为
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
5.
【解析】
【标注】
对于任意实数
，关于的一元二次方程
的根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
，
∵
，
∴
，
∴方程
有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的一元二次方程
．
当
时，利用根的判别式判断方程根的情况．
若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的，的值，并求出此时方程的根．
【答案】（1 ）
（2 ）
原方程有两个不相等的实数根．
，
，（答案不唯一）满足
的、值，则符合题意．
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴原方程有两个不相等的实数根．
，
，（答案不唯一）
3
【标注】
∵方程
有两个相等的实数根，
∴
，
∴
，
∴
，
满足
的、值，则符合题意．
【知识点】一元二次方程根的判别式
7.
【解析】
【标注】
已知关于的方程
有两个相等的实数根，则的值是 ．
【答案】
∵方程
有两个相等的实数根，
∴
，
∴
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
8.
【解析】
【标注】
如果关于的一元二次方程
没有实数根，那么
的取值范围是 ．
【答案】
由于方程没有实数根，故
，解得
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
A.
B.
C.
D.
且
9.
【解析】
【标注】
关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）．
【答案】D
∵关于的方程
是一元二次方程，∴
．
∵该方程有两个不相等的实数根，∴
，
即
，解得
．
∴
且
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
4
A.
B.
C.
且
D.
10.
【解析】
【标注】
关于的方程
有实数根，则
的取值范围是（ ）．
【答案】A
分为两种情况：
时，方程
为一元一次方程，一定有实数根，
时，
，
∴
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
11.
【解析】
【标注】
关于的一元二次方程
无实数根，写出一组满足条件的实数，值：
，
．
【答案】 ;
∵关于的一元二次方程
无实数根，
∴
，
∴
．
∴
符合要求．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
12.
【解析】
【标注】
关于的一元二次方程
有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数、的
值：
，
．
【答案】（答案不唯一，满足
且
即可） ; （答案不唯一，满足
且
即可）
∵关于的一元二次方程
有两个相等的实数根，
∴
，
，
即
，
，
∴
（
）
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
5
A.
B.
C.
D.
13.
【解析】
【标注】
一元二次方程
有实根，则的取值范围是（ ）．
【答案】A
一元二次方程
可化为
，
∵一元二次方程有实数根，
∴
，
解得
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
14.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若关于的方程
有实数根．
求的取值范围．
若为符合条件的最小整数，求此时方程的根．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
．
∵该方程有实数根，
∴
．
解得
．
当为符合条件的最小整数时，
．
此时方程化为
，方程的根为
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
15.
【解析】
若关于的方程
有两个相等实根，则代数式
的值为 ．
【答案】
∵关于的方程
有两个相等实根，
∴
．
∴代数式
的值为．
6
【标注】【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
16.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
求
的取值范围．
当
取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1 ）
（2 ）
的取值范围是
且
．
方程的根为
，
．
∵关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
且
，
，
解得
且
．
∴
的取值范围是
且
．
在
且
的范围内，最大整数为．
此时，方程化为
．
∴方程的根为
，
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
17.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的方程
．
若该方程的两个相等的实数根，求实数的取值范围．
若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
把
代入原方程中，
7
【标注】
，
，
，
，
把
代入
，
，
，
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
18.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
回答下列问题：
已知关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，求
的
取值范围．
已知关于的一元二次方程
．求证：此方程总有两个不相等的实数
根．
【答案】（1 ）
（2 ）
且
．
证明见解析．
∵关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
且
，
解得：
，
即
的取值范围是
且
．
，
，
∵不论为何值，
，
∴
，
即此方程总有两个不相等的实数根．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
19. 已知关于的方程
．
求证：方程总有两个不相等的实数根．
如果方程的一个根为
，求的值及方程的另一根．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，方程的另一根为
．
由于
是一元二次方程，
，
无论取何实数，总有
，
∴
，
∴方程总有两个不相等的实数根．
把
代入方程
，
有
，
整理，得
．
解得
，
此时方程可化为
．
解此方程，得
，
．
∴方程的另一根为
．
【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
（1 ）
（2 ）
20.
（1 ）
【解析】
已知关于的方程
．
求证：无论取任意实数，方程总有实数根．
若等腰三角形
的一边
，另两边长、恰是这个方程的两个根，求
的周长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
或．
中，
，
，
，
，
∴方程总有实数根．
9
（2 ）
【标注】
为等腰三角形，
①当
时，则
，
即
，
∴
，
则方程为
，
解得
，
即
，
此时，、、的值满足三角形三边关系，
∴
．
②若其中有一个与相等，设
，
则有
，
解得
，
∴此时方程为
，
解得
，
，
即
时，
，
此时满足三角形的三边关系，
∴
，
综上所述，
的周长为或．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
21.
（1 ）
（2 ）
【解析】
关于的一元二次方程
．
求证：方程总有两个实数根．
若方程有一个根大于，求
的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
依题意，得
．
∵
，
∴方程总有两个实数根．
由求根公式，得
∴
，
．
10
【标注】
∵方程有一个根大于，
∴
．
∴
．
∴
的取值范围是
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
22.
【解析】
【标注】
已知：
，求证：关于的方程
有两个不相等的实数根．
【答案】证明见解析．
∵
，
∴
．
∴
，
∴原方程有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式
