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1
一次函数章节复习：公共点类新定义【题集C】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 在平面直角坐标系
中，对于点
和图形
，如果线段
与图形
无公共点，则称点
为关于图
形
的“阳光点”；如果线段
与图形
有公共点，则称点
为关于图形
的“阴影点”．
如图，已知点
，
，连接
．
x
–2 –1
1
2
3
4
y
–2
–1
1
2
3
4
5
6
O
图
在
，
，
，
这四个点中，关于线段
的“阳光点”
是 ．
线段
；
上的所有点都是关于线段
的“阴影点”，且当线段
向上或向下平移时，都会有
上的点成为关于线段
的“阳光点”．若
的长
为，且点
在
的上方，则点
的坐标为 ．
如图，已知点
，⊙
与轴相切于点
．若⊙
的半径为
，圆心
在直线
上，且⊙
上的所有点都是关于⊙
的“阴影点”，求点
的横坐标的
取值范围．
x
–2 –1
1
2
3
4
y
–2
–1
1
2
3
4
5
6
O
图
如图，⊙
的半径为，点
到原点的距离为．点
是⊙
上到原点距离最近的点，点
和是坐标平面内的两个动点，且⊙
上的所有点都是关于
的“阴影点”，直接写出
的周长的最小值．
2
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
x
y
O
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
．
、
．
．
情况一．
如图，当⊙
与轴相切时，设切点为
，
x
y
O
图
连接
．
∵⊙
与轴相切于点
，
∴
轴．
∵⊙
的半径为
，
∴
．
∴此时点
的横坐标为
．
情况二．
如图，设直线分别于轴，轴交于点
，
，连接
，
，过点
作⊙
的另一条切
线
，切点为，直线
与直线交于点．
3
（3 ）
x
y
O
图
当⊙
与直线
相切时，点
作
轴于点
．
∵⊙
与轴相切于点
，
∴
轴．
∵点
的坐标为
，
∴
．
∴
．
∵⊙
与
相切于点，
∴
．
∴
．
∵直线
分别于轴，轴交于点
，
，
∴点
，
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴⊙
与直线
相切．
∴切点为点．
∴
．
∵在
中，
．
∴
．
∴
．
∴此时点
的横坐标为
．
可知，点
在直线上，从情况一中的位置运动到情况二中的位置时，都满足题意，所以点
的横坐标的取值范围是
．
过点
作⊙
的两条切线
、
，
4
【标注】
x
y
O
∵⊙
上所有的点都是关于
的“阴影点”，
∴点
在切线
上，点在切线
上．
依题可知，
，
，
，
．
∵点
是⊙
上到原点距离最近的点，
∴点
在
上，
．
的周长最小，在过点
分别作
、
的对称点
、
，连接
，
即为
的最小周长．
，
，
，
．
，
，
∴
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
（1 ）
2. 对于平面直角坐标系
中的线段
和点
，给出如下定义：点
是线段
上一个动点，过点
作线段
的垂线，点
是垂线上的另外一个动点．如果以点
为旋转中心，
将垂线沿逆时针方向旋转
后与线段
有公共点，我们就称点
是线段
的“关联点”．
如图，
，
．
在点
，
，
中，线段
的“关联点”有 ．
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
如果点
在直线
上，且点
是线段
的“关联点”，求点
的横坐标的取值范
围．
如果点
在以
为圆心，为半径的
上，且点
是线段
的“关联点”，直接写
出
半径的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
．
．
①当
坐标位于
时，
设直线旋转后与
交点为
，
此时
，
，
，
∴
，
所以
符合．
②同理当
为
时，
设直线旋转后与
交于
，
此时
，
，
∵
，
6
（2 ）
（3 ）
∴
，
∴
不符合．
③ 当
位于
时，
始终与
有交点，
∴线段
的“关联点”为
，
．
线段
的“关联点”
的位置如图所示，
∵直线
经过点
，
∴
.
设直线
与
交于点
，
过点
作
于
，延长
交轴于
．
由题意易知，在
中，
，
，
．
设
，
∴
，即
，
解得
，
∴点
的横坐标为
，
∴
．
综上，
．
①由题已知，
为线段
“关联点”，
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【标注】
则旋转后的直线与
有交点，
当旋转后的直线恰好经过
时，
此时，
在
点上方，
此时，
，
，
∵
，
∴
，，
此时
的坐标为
，
∵圆心位于
，
此时为
．
②当旋转后的直线 ，
恰过
点时，
为
半径，
，
此时，
，
，
，
则
，
，
，
∴
位于
，
∴
，
所以
半径取值范围为
．
【知识点】与距离有关的新定义
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，对于点
和图象
，如果以
为端点的任意一条射线与图象
最多只有
一个公共点，那么称点
独立于图象
．
如图，已知点
，以原点
为圆心，
长为半径画弧交轴正半轴于点
．在
，
，
，
这四个点中，独立于
的点是 ．
x
–2
2
y
–2
2
O
图
如图，已知点
，
，
，点
是直线：
上的一个动点．若点
独立于折线
，求点
的横坐标
的取值范围．
x
y
O
图
如图，⊙
是以点
为圆心，半径为的圆．点
在轴上且
，以点为中
心的正方形
的顶点
的坐标为
，将正方形
在轴及轴上方的部分
记为图象
．若⊙
上的所有点都独立于图形
，直接写出的取值范围．
x
y
O
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
或
．
或
．
，
．
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（2 ）
x
y
O
（3 ）
【标注】
由
，
，
，
可得：直线
的解析式
；
直线
的解析式
．
由
，可得直线与直线
交点横坐标
；
由
，可得直线与直线
交点横坐标
．
∴
或
．
∵
为正方形
的中心，且顶点
的坐标为
，
∴正方形
的对角线长为，且正方形的边分别与
平行，
当⊙
的切线平行于
时，
设此时切线与轴分别交于
，
点，
由题意知：当
在
之间与
之间时（
），
⊙
上所有的点都独立于图形
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴的取值范围为
或
．
【知识点】象限内坐标的特征
4. 如图，在平面直角坐标系
内，已知点
，
，
，
，记线段
为
，线段
为
，点
是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点
的直线与
，
都有公共
点，则称点
是
联络点．
例如，点
是
联络点．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
E
图
以下个点中， 是
联络点（填出所有正确的序号）；
①
；②
；③
．
直接在图中画出所有
联络点所组成的区域，用阴影部分表示．
【答案】（1 ）
（2 ）
②③
见解析
联络点所组成的区域为直线
、
所夹的阴影区域，以及直线
和
则②
，③
在该区域内，是
联络点．
【知识点】与函数有关的新定义
