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1
【三角函数的几何综合应用】 题集【A】
一、网格
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
正方形网格中，
如图放置，则
的值是（ ）．
【答案】D
正方形网格中，
．
【题型】探究正弦，余弦和正切的三角函数
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，
的三个顶点均在格点上，则
的值为
（ ）．
【答案】D
找到
所对着的直角三角形，
即过点
沿网格作
边的高，
所以
．
2
【标注】【知识点】网格中的锐角三角函数
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，将
放在每个小正形的边长为的网格中，点
、
、
均在格点上，则
的值是（
）．
【答案】D
略．
【能力】推理论证能力
4.
【解析】
如图，边长为的小正方形网格中，半径为的⊙
在格点上，则
．
【答案】
∵同弧所对的圆周角相等，
∴
，
3
【标注】
故答案为：
．
【知识点】探究一般角的三角函数的值
5.
【解析】
【标注】
已知：如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点
、
、
、
、
都在小正方形的顶点上，求
的值．
【答案】
根据题意可得，
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
【题型】探究正弦，余弦和正切的三角函数
6.
【解析】
如图，将
放置在
的正方形网格中，则
的值是 ．
【答案】
作
交
于
，
则
，
，
．
4
【标注】【知识点】网格中的锐角三角函数
7.
【解析】
【标注】
如图，在
的网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，
点
、
、
在格点上，连接
、
，则
．
【答案】
连
，作
于点
，
，
，
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】探究一般角的三角函数的值
8.
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，在
的正方形网格中，
和
的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，
与
网格上的直线相交于点
．
填空：
．
．
求
的值和
的值．
判断
和
是否相似？并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
的值是
和
的值是
．
．
如图，由勾股定理，得
．
，
故答案是：
，
．
如图所示，
．
又由（）知，
，
，
∴
，
∴
．
．
综上所述，
的值是
和
的值是
．
和
相似．理由如下：
如图，
，
．
则
，
所以
．
【知识点】网格中的三角形相似
9. 如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点
，
，
均在格点上，连接
．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
的值等于 ．
在网格中，用无刻度的直尺，画出
，使
．
【答案】（1 ）
（2 ）画图见解析．
将
放到直角边为和5的直角三角形中，则根据正切定义
．
如图，取格点
，连接
，
，则
即为所求．
E
【知识点】网格中的锐角三角函数
（1 ）
10. 感知：如图①，在
和
中，
，
，易知：
（不要求证明）．
图
探究：图②是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点为格点，点
、
、
均在给点
上．直接写出
的值，并在网格中找到一个格点
，连接
，使
．
7
（2 ）
图
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
拓展：图③是由小正方形构成的网格，点
、
、
、
、
、
均在格点上．先在网格中找
到格点
，连接
，使
；再在网格中找到格点
，连接
，使
．设
交
于点
，
交
于点
，若不再添加其它线段并且忽略
图中的虚线，则你画的图中有相似三角形吗？若有，直接写出来．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
，画图见解析．
画图见解析，有，
，
．
观察图②，可知：
，
，
，
∴
．
在图②中标出点
，如图所示，理由如下：
∵
，
，
∴
．
依照题意画出图形，
，
．理由如下：
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
，
8
图
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形与实际问题
二、面积
（1 ）
（2 ）
1. 回答下列问题：
在
中，
，
，点
是线段
的的中点，
，线
段
与线段
相交于点
，线段
与线段
相交于点
．如图，当
绕点
顺时
针旋转一定的角度，
仍与线段
相交于点
时，小明经过研究发现四边形
的面积
不会随着
的旋转而发生变化，那么四边形
面积为 ．
等边
中，
，点
是线段
的中点，
，线段
与线段
相
交于点
．线段
与线段
相交于点
．如图，当
绕点
顺时针旋转一定的角
度，
仍与线段
相交于点
时，请判断四边形
的面积是否会随着
的旋转
而发生变化，如果不发生改变，请求出四边形的面积，并说明理由．
9
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（平行班）如图，在（）的条件下连接
，求
的最小值．
（实验班）如图，在（）的条件下连接
，求
周长的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
不发生改变，为
．，理由见解析．
，
．
如图，
．
∵
，
∴
．
不发生改变，如图，将
以
为旋转中心旋转
，则点
在
上．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
（平行班）如图，分别作
，
，此时，
即为所求最小值．
∵
，
∴
即
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
（实验班）如图，由（）可知
，
，
∴
周长最小即
最小，
四边形
四边形
四边形
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【标注】
∴同（平行班），
∴
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
2.
【解析】
【标注】
若锐角
的面积为
，且
，
，则
．
【答案】
由
，得
，
∵锐角
，
∴
，
由余弦定理得
∴
．
【知识点】余弦定理
