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第28 章 锐角三角函数 A 卷
满分120 分
一、单选题
1. ( 3 分 ) 已知
是等腰直角三角形的一个锐角，则
的值为（ ）
A.
B.
√2
2 C.
D. 1
【答案】 B
【考点】等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵α 是等腰直角三角形的一个锐角，∴α=45°，∴sinα=sin45°= √2
2
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质及特殊锐角三角函数值得出答案。
2. ( 3 分 ) sin30°等于（ ）
A. 1
2 B. -1
2 C. √3
2
D. -√3
2
【答案】 A
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据sin30°=1
2直接解答即可．
【解答】sin30°=1
2 ．
【点评】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
3. ( 3 分 ) 如图，在 Rt
ABC
螖
中，
.若 AC = 4 ， BC =3 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A. sin A = 3
4 B. cos A = 5
3 C. tan A = 3
4 D. cos A = 3
5
【答案】 C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵
， AC = 4 ， BC =3
AB=
∴
√A C
2+ BC
2=5
∴sin A = BC
AB = 3
5 ，故A 选项错误；
cos A = AC
AB = 4
5 ，故B、D 选项错误；
tan A = BC
AC = 3
4 ，故C 选项正确.
故答案为：C
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据三角函数的定义解答即可.
4. ( 3 分 ) 在锐角△ABC 中，|sinA﹣√3
2 |+（cosB﹣√2
2 ）2=0，则∠C 的度数是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】 D
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，sinA﹣√3
2 =0，cosB﹣√2
2 =0，
则sinA=√3
2 ， cosB=√2
2 ，
A=45°
∠
，∠B=45°，
则∠C=180°
45°
45°=90°
﹣
﹣
．
故选D．
【分析】根据非负数的性质求出∠A 和∠B 的度数，然后求出∠C 的度数．
5. ( 3 分 ) 如图为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向
前进12 m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，则建筑物AB 的高度等于( )
A. 6（√3＋1）m B. 6 (√3-1) m C. 12 (√3＋1) m D. 12（√3－1）m
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】
【分析】利用所给的角的三角函数用AB 表示出BD，CB；根据BC-DB=CD 即可求出建筑物AB 的高度．
【解答】根据题意可得：BC=
=√3AB，BD=
=AB．
CD=BC-BD=AB
∵
（√3-1)=12，
AB=6
∴
（√3＋1)
故选A．
【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力
6. ( 3 分 ) 在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=6，cosB= 2
3
，则BC 的长为（ ）
A. 4 B. 2√5 C. 18√3
13
D. 12√3
13
【答案】 A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
C=90°
∵∠
，
cosB=
∴
BC
AB
，
BC=ABcosB=6×
∴
2
3
=4，
故选：A．
【分析】根据cosB= BC
AB
知BC=ABcosB，即可得解．
7. ( 3 分 ) 用计算器求cos15°，正确的按键顺序是（ ）
A. cos15= B. cos15 C. Shift15 D. 15cos
【答案】 A
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】先按键“cos”，再输入角的度数15，按键“=”即可得到结果.
故选A
【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“cos”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果.
8. ( 3 分 ) 如图，已知l1 l2 l3 l4
∥∥∥
， 相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角
的三个顶点分
别在三条平行直线上，则∠α 的正弦值是（ ）
A. 2√13
13
B. 3√13
13
C. 3
2
D. 2
3
【答案】 A
【考点】平行线的性质，解直角三角形，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如图，过点A 作
于D，过点B 作
于E，设 √3
3
间的距离为 a(a>0)
则 AD =3a,BE =2a
是等腰直角三角形
∵
，
∴
在
和
中，
∴
∴CE = AD =3a
在
中， CB =√C E
2+ B E
2=√(3a)
2+(2a)
2=√13a
则
故答案为：A.
【分析】如图（见解析），过点A 作
于D，过点B 作
于E，先根据同角的余角相等求
出
，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 CE = AD ，然后利用勾股定理列式求出
BC 的长，最后根据锐角的正弦定义列式计算即可得.
9. ( 3 分 ) 若∠A 为锐角，cosA= √2
2
，则∠A 的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由∠A 为锐角，cosA= √2
2
，得
A
∠
的度数为45°，
故选：C．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
10. ( 3 分 ) 等腰三角形的底角为15，腰长a 为，则此等腰三角形的底长为（ ）
A. √3−1
2
a B.
1+√3
2
a C.
D. √6+√2
2
a
【答案】 D
【考点】等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点A 作AD BC
⊥
于点D，
由题意可得，∠B= C=15°
∠
，AB=AC，
则cos B=cos15°=
∠
BD
AB
，AB=a，
BC=2BD=2AB•cos15°
∴
．
又cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°= √6+√2
4
．
BC=2AB•cos15°=
∴
√6+√2
4
a．
故答案为：D．
【分析】先作出图形，过点A 作AD BC
⊥
于点D，根据锐角三角函数的定义求出BC=2BD=2AB•cos15°，再
根据cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°，然后根据BC=2AB•cos15°，计算即可求出答案。
二、填空题
11. ( 4 分 ) 如图，
的顶点都是正方形网格中的格点，则
________.
【答案】 1
2
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形
中，
，
故答案为： 1
2
.
【分析】根据正切函数的定义：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做
的正切，记作tanA，利用网格计
算即可.
12. ( 4 分 ) 计算：tan60°
cos30°=________
﹣
．
【答案】 √3
2
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】tan60°
cos30°=
﹣
= √3
2 .
故答案为： √3
2
.
【分析】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可求解。
13. ( 4 分 ) 如图，在△ABC 中，AC=2，∠A=45°，tanB=1
2
， 则BC 的长为________．
【答案】 √10
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C 作CD AB
⊥
于D，
AC=2
∵
，∠A=45°，
CD=AC•sin A=2•sin45°=2×
∴
∠
√2
2
=√2 ，
tanB=
∵
1
2
，
BD=
∴
CD
tan B
=
√2
1
2
=2√2 ，
BC=
∴
√C D
2+ B D
2=√(√2)
2+(2√2)
2=√10 ．
故答案为√10 ．
【分析】过点C 作CD AB
⊥
于D，利用∠A 的正弦值求出CD，再根据∠B 的正切值求出BD，利用勾股定
理列式求出BC 的长．
14. ( 4 分 ) 如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在
处，若
的延长线恰好过点C，则sin ABE
∠
的值为________．
【答案】 √10
10
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，
BA'C=90°
∴∠
，
在Rt
A'CB
△
中，
，
设AE=x，则A'E=x，
DE=10
∴
x，CE=A'C+A'E=8+x，
在Rt
CDE
△
中，根据勾股定理得，（10
x）2+36=（8+x）2 ，
x=2
∴
，
AE=2
∴
，
在Rt
ABE
△
中，根据勾股定理得，BE= √A B
2+ A E
2=2√10
，
sin ABE=
∴
∠
AE
BE = √10
10
，
故答案为： √10
10
．
【分析】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数
即可得出结论．
15. ( 4 分 ) 在
中，
，
，
的面积为12，则
的度数为________．
【答案】 30°或150°
【考点】三角形的面积，解直角三角形
【解析】【解答】由于题意未准确告知
形状，所以可分两种情况讨论：
若
为锐角三角形，如图，过点 C 作
，
∵
，
，
∴CD =3 ，
在
中， sin A = CD
AC = 3
6 = 1
2
，
∴
；
若
为钝角三角形，如图，过点 B 作
，
∵
，
，
∴BD = 4 ，
在
中，
，
∴
,
则
．
综上所述，
的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
【分析】分两种情况讨论，当三角形为锐角三角形和对角三角形时，再利用三角形的面积和解直角三角
形求解即可。
16. ( 4 分 ) 计算：
________．
【答案】 1
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式
．
故答案是：1．
【分析】利用特殊角三角函数值进行解答即可.
17. ( 4 分 ) 将矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，DE、CF 为折痕，折叠后点A 和点B 都落在点O 处．若
△EOF 是等边三角形，则 AB
AD
的值为________．
【答案】 √3
【考点】等边三角形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵△EOF 是等边三角形，
EF=OE=OF
∴
，∠OEF=60°，
由折叠的性质可得：OE=AE，OF=BF，∠AED= OED
∠
，
AB=3AE
∴
，∠AED=
=60°，
∵四边形ABCD 是矩形，
A=90°
∴∠
，
tan AED=
∴
∠
AD
AE =√3 ，
AD=
∴
√3 AE，
∴AB
AD = 3 AE
√3 AE =√3 ．
故答案为： √3
【分析】先根据△EOF 是等边三角形，可得EF=OE=OF，∠OEF=60°，然后根据折叠的性质可得
OE=AE，OF=BF，∠AED= OED
∠
，从而确定AB=3AE，∠AED 的度数，根据矩形的性质利用∠AED 的正
切函数定义可得正切值，利用AD 与AE 的关系即可确定所求的值.
18. ( 4 分 ) 如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB＝90°，AB＝ √37 ，D 是CB 延长线上一点，以BD 为边向上
作等边三角形EBD，连接AD，若AD＝11，且∠ABE＝2 ADE
∠
，则tan ADE
∠
的值为________．
【答案】 2
5 √3
【考点】等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在线段DA 上取一点T，使得DT＝TE，连接ET，BT，AE，延长BT 交DE
于K，作TH BD
⊥
于H．
BDE
∵△
是等边三角形，
BE
∴
＝BD，∠EBD＝60°，
TE
∵
＝TD，BT＝BT，
BTE
BTD
∴△
△
≌
（SSS），
EBT
∴∠
＝∠DBT＝30°，
BE
∵
＝BD，
BK DE
∴
⊥
，EK＝DK，
TE
∵
＝TD，
TED
∴∠
＝∠TDE，
ATE
∴∠
＝∠TED+ TDE
∠
＝2 TDE
∠
，
ABE
∵∠
＝2 ADE
∠
，
ABE
∴∠
＝∠ATE，
A
∴，B，T，E 四点共圆，
EAT
∴∠
＝∠EBT＝30°，
EAB
∴∠
＝ 1
2
EBD
∠
，
∴点A 在B 为圆心，BE 为半径的⊙B 上，延长AB 交⊙B 于J，连接DJ．
AJ
∵
是直径，
ADJ
∴∠
＝90°，
DJ
∴
＝
tan DAJ
∴
∠
＝ DJ
AD = 3√3
11
，
BA
∵
＝BD，
BDA
∴∠
＝∠BAD，
tan BDA
∴
∠
＝ 3√3
11
，
TH
DH
∵
⊥
，
∴TH
DH ＝ 3√3
11
，设TH＝ 3√3 k，则DH＝11k，
在Rt
BHT
△
中，BH＝
＝9k，
BD
∴
＝BH+DH＝20k＝ √37 ，
k
∴＝ √37
20
，
BT
∴
＝2TH＝ 3√111
10
，
BK
∵
＝BD•cos30°＝ √111
2
，
TK
∴
＝BK
BT
﹣
＝ √111
5
，
DK
∵
＝ √37
2
，
tan ADE
∴
∠
＝ TK
DK =
√111
5
√37
2
= 2√3
5
．
故答案为： 2√3
5
．
【分析】如图，在线段DA 上取一点T，使得DT＝TE，连接ET，BT，AE，延长BT 交DE 于K，作
TH BD
⊥
于H．想办法证明∠EAB＝ 1
2
EBD
∠
，推出点A 在B 为圆心，BE 为半径的⊙B 上，延长AB 交
⊙B 于J，连接DJ．解直角三角形求出TK，DK 即可解决问题．
三、解答题
19. ( 6 分 ) 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC 为40°，览车速度为
60 米/分，11 分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．
（精确到1 米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
【答案】 解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66 米．
sin40°=
∵
BC
AB
，∴BC≈0.64×660=422.4 米≈422 米．
答：山的高度BC 约为422 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正弦函数的定义由sin40°=BC AB
∶
得出B 错的长度，从而得出答案。
20. ( 6 分 ) 如图1 是一把折叠椅子，图2 是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD 和BC 表示两根
较粗的钢管，EG 表示座板平面，EG 和BC 相交于点F，MN 表示地面所在的直线，EG MN
∥
，EG 距MN 的
高度为42cm，AB＝43cm，CF＝42cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°．求两根较粗钢管AD 和BC 的长．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，
tan60°≈1.73）
【答案】 解：作FH AB
⊥
于H，DQ AB
⊥
于Q，如图2，FH＝42cm，
在Rt
BFH
△
中，∵sin FBH
∠
＝ FH
BF
，
BF
∴
＝
≈48.28，
BC
∴
＝BF+CF＝48.28+42≈90.3（cm）；
在Rt
BDQ
△
中，∵tan DBQ
∠
＝ DQ
BQ
，
BQ
∴
＝
，
在Rt
ADQ
△
中，∵tan DAQ
∠
＝ DQ
AQ
，
AQ
∴
＝
，
BQ+AQ
∵
＝AB＝43，
∴
+
＝43，解得DQ≈56.999，
在Rt
ADQ
△
中，∵sin DAQ
∠
＝ DQ
AD
，
AD
∴
＝
≈58.2（cm）．
答：两根较粗钢管AD 和BC 的长分别为58.2cm、90.3cm．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作FH AB
⊥
于H，DQ AB
⊥
于Q，由已知可得FH=42，在Rt
BFH
△
中，利用解直角三角
形求出BF，再由BC＝BF+CF 求出BC 的长，再在Rt
BDQ
△
中，求出BQ，在Rt
ADQ
△
中求出AQ 的长，
由BQ+AQ=AB=43，建立方程求出DQ 的长，然后在Rt
ADQ
△
中，利用解直角三角形求出AD 的长。
21. ( 6 分 ) 如图，一艘海上巡逻船在A 地巡航，这时接到B 地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西
60°向的C 地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C 地位于北偏西30°方向上，A 地位于B 地北偏
西75°方向上，A、B 两地之间的距离为16 海里．求A、C 两地之间的距离．（保留根号）
【答案】 解：过点B 作BD CA
⊥
交CA 延长线于点D，
由题意得，∠ACB=60°
30°=30°
﹣
，
ABC=75°
60°=15°
∠
﹣
，
DAB= DBA=45°
∴∠
∠
，
在Rt
ABD
△
中，AB=16 海里，∠DAB=45°，
BD=AD=ABcos45°=8
∴
√2 （海里），
在Rt
CBD
△
中，CD=
BD
tan30
0 =8 √6 ，
AC=
∴
（8 √6
8
﹣
√2 ）（海里），
答：A、C 两地之间的距离是8（ √6
﹣√2 ）海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点B 作BD CA
⊥
交CA 延长线于点D，根据题意可得∠ACB 和∠ABC 的度数，然后根
据三角形外角定理求出∠DAB 的度数，已知AB=12 海里，可求出BD、AD 的长度，在Rt
CBD
△
中，解直
角三角形求出CD 的长度，继而可求出A、C 之间的距离．
22. ( 6 分 ) 计算：|
3|+
﹣
√3•tan30°﹣3√8﹣（2008
π
﹣）0 ．
【答案】 解：原式=3+√3•√3
3
-2-1=3+1
2
1=1
﹣﹣
．
（注：只写后两步也给满分．）
【考点】相反数及有理数的相反数，实数的运算，0 指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值
【解析】按照实数的运算法则依次计算：|
3|=3
﹣
，tan30°=√3
3
， 3√8=2，（2008
π
﹣）0=1．
23. ( 10 分 ) 如图，抛物线 y = 1
4 x
2+ 1
4 x +c 与x 轴的负半轴交于点A，与y 轴交于点B，连结AB．点C
在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D．
（1）求c 的值及直线AC 的函数表达式；
（2）点P 在x 轴的正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M，连结MO 并延长交
AB 于点N，若M 为PQ 的中点．
①求证：△APM
AON
△
∽
；
②设点M 的横坐标为m ， 求AN 的长（用含m 的代数式表示）．
【答案】 （1）解：把点C（6，15
2
）代入抛物线得:15
2
=9+3
2
+c.
解得c=-3.
当y=0 时，1
4
x2+1
4
x-3=0.
解得：x1=-4,x2=3.
A(-4,0).
∴
设直线AC 的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.
把A(-4,0)，C（6，15
2
）代入得：
解得：{
k = 3
4
b=3)
∴直线AC 的函数表达式为：y=3
4
x+3.
（2）①证明：∵在Rt
AOB
△
中，tan OAB=
∠
OB
OA
=3
4
. 在Rt
AOB
△
中，tan OAD=
∠
OB
OA
=3
4
.
OAB= OAD.
∴∠
∠
∵在Rt
POQ
△
中,M 为PQ 中点.
OM=MP.
MOP= MPO.
∴
∴∠
∠
又 ∵∠MOP= AON.
APM= AON.
APM
AON.
∠
∴∠
∠
∴△
△
②解：如下图，过点M 作ME x
⊥轴于点E.
OM=MP. OE=EP.
∵
∴
又∵点M 的横坐标为m. AE=m+4,AP=2m+4. tan OAD=
∴
∵
∠
3
4
. cos EAM=cos OAD=
∴
∠
∠
4
5
. AM=
∴
5
4 AE=
5(m+ 4)
4
.
APM
AON.
∵△
∽△
∴
AM
AN =
AP
AO . AN=
∴
=
5m+20
2m+ 4 .
【考点】待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】(1)把点C（6，15
2
）代入抛物线求出c 的值，令y=0 求出A 点坐标，再用待定系数法求
出直线AC 的函数表达式.
(2)①在Rt
AOB
△
中，tan OAB=
∠
OB
OA
=3
4
. 在Rt
AOB
△
中，tan OAD=
∠
OB
OA
=3
4
.从而得出∠OAB= OAD
∠
；
在Rt
POQ
△
中,M 为PQ 中点得出OM=MP. APM= AON
∠
∠
；从而证明△APM
AON.
∽△
②如上图，过点M 作ME x
⊥轴于点E；由OM=MP.得出OE=EP；点M 的横坐标为m；得出
AE=m+4,AP=2m+4.
根据tan OAD=
∠
3
4 .求出cos EAM=cos OAD=
∠
∠
4
5 ；再根据△APM
AON
∽△
；得出AN=
=
5m+20
2m+ 4 .
四、综合题
24. ( 12 分 ) 如图，△ABC 中，AB＝AC＝13，BD AC
⊥
于点D，sinA＝ 12
13
（1）求BD 的长；
（2）求tanC 的值.
【答案】 （1）解：∵△ABC 中，AB＝AC＝13，BD AC
⊥
于点D，sinA＝ 12
13
∴BD
AB = 12
13
，
即 BD
13 = 12
13
，
解得：BD＝12；
（2）解：∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD AC
⊥
，
AD
∴
＝5，
DC
∴
＝8，
tan C
∴
∠＝ BD
DC = 12
8 = 3
2
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数sinA=BD
AB = 12
13
可求解；
（2）在直角三角形ABD 中用勾股定理可求得AD 的值，由线段的构成可求得CD 的值，再根据锐角三角
函数tan C=
∠
BD
DC
可求解.
25. ( 12 分 ) 如图，△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D，与CA 的延长线相交于点
E，过点D 作DF AC
⊥
于点F.
（1）试说明DF 是⊙O 的切线；
（2）若AC=3AE，求tanC.
【答案】 （1）解：连接OD，
OB=OD
∵
，
B= ODB
∴∠
∠
，
AB=AC
∵
，
B= C
∴∠
∠，
ODB= C
∴∠
∠，
OD AC
∴
∥
，
DF
AC
∵
⊥
，
OD DF
∴
⊥
，
DF
∴
是⊙O 的切线
（2）解：连接BE，
AB
∵
是直径，
AEB=90°
∴∠
，
AB=AC
∵
，AC=3AE，
AB=3AE
∴
，CE=4AE，
BE=
∴
，
在RT
BEC
△
中，tanC= BE
CE = 2√2 AE
4 AE
= √2
2
.
【考点】勾股定理，圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质可证得∠B= ODB
∠
，∠B= C
∠，可推出
∠ODB= C
∠，利用平行线的判定定理可得到OD AC
∥
，结合已知条件可证得OD DF
⊥
，然后根据切线的判定
定理可证得结论.
（2）连接BE，利用圆周角定理可证得∠AEB=90°，再利用勾股定理表示出BE 的长，然后利用锐角三角
函数的定义可求出tanC 的值.
