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锐角三角函数
28.1__锐角三角函数__
第1 课时 正弦 [见B 本P78]
1．如图28－1－1，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA 的值是( C )
图28－1－1
A. B. C. D.
2．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3 倍，则锐角A 的正弦函数值( A )
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3 倍 D．不能确定
3．如图28－1－2，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB 的值为( C )
图28－1－2
A. B. C. D．1
4．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( A )
A．15 B．12 C．9 D．6
【解析】 AB＝＝＝15，选A.
5．如图28－1－3 所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为( B )
图28－1－3
A. B. C. D.
6．如图28－1－4，角α 的顶点为O，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，
则sinα 的值是( D )
图28－1－4
A. B. C. D.
【解析】 OP＝＝5，∴sinα＝.故选D.
7．△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB＝____．
【解析】 由sinA＝可得＝，故可设BC＝2a，AB＝5a，由勾股定理求得AC＝a，再由正弦定义求
得sinB＝＝＝.
8. 如图图28－1－5，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D，若
AC＝7，AB＝4，则sinC 的值为____．
图28－1－5
9．Rt△ABC 中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求 sinA＋sinB.
解：由勾股定理有c＝＝＝17，
于是sinA＝，sinB＝，
所以sinA＋sinB＝＋＝.
图28－1－6
10．如图28－1－6 所示，△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝2，求AB，BC 的长．
解：∵sinA＝，∴＝，∴AB＝3BC.
∵AC2＋BC2＝AB2，∴22＋BC2＝(3BC)2，
∴BC＝，∴AB＝.
11. 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于( B )
A. B. C. D.
12．如图28－1－7，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于E，DE＝6 cm，sinA＝，则菱形ABCD 的面积是
__60__cm2.
图28－1－7
【解析】 在Rt△ADE 中，sinA＝，
∴AD＝＝＝10(cm)，∴AB＝AD＝10 cm，
∴S 菱形ABCD＝DE·AB＝6×10＝60(cm2)．
13．如图28－1－8，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为4，求sinA 的值．
图28－1－8
第13 题答图
【解析】 要求sinA 的值，必将∠A 放在直角三角形中，故过O 作OC⊥AB 于C，构造直角三角形，
然后根据正弦的定义求解．
解：过点O 作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，
则有AC＝BC.∵AB＝4，∴AC＝2.
在Rt△AOC 中，OC＝＝＝，∴sinA＝＝.
14．如图28－1－9，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于
点E，BC＝6，sinA＝，求DE.
图28－1－9
解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝＝8，
∵D 是AB 的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝.
15．如图28－1－10，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB 是河底线，弦CD 是水
位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD 于点E，已测得sin∠DOE＝.
(1)求半径OD；
(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
图28－1－10
解：(1)∵OE⊥CD 于点E，CD＝24 m，
∴ED＝CD＝12 m.
在Rt△DOE 中，sin∠DOE＝＝，
∴OD＝13 m.
(2)OE＝＝＝5(m)，
∴将水排干需5÷0.5＝10(小时)．
16．如图28－1－11，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点
(B，C 两点除外)．
(1)求∠BAC 的度数；
(2)求△ABC 面积的最大值．
图28－1－11
解：(1)过点O 作OD⊥BC 于点D，连接OC，OB.
因为BC＝2，
所以CD＝BC＝.
又因为OC＝2，
所以sin∠DOC＝＝，
所以∠DOC＝60°，
所以∠BOC＝2∠DOC＝120°，
所以∠BAC＝∠BOC＝60°.
(2)因为△ABC 中的边BC 的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC 的面积最大，即点A 是BAC
的中点时，△ABC 的面积最大，
此时AB＝AC，所以AB＝AC.
又因为∠BAC＝60°，
所以△ABC 是等边三角形．
连接AD，易证AD 是△ABC 的高．
在Rt△ADC 中，AC＝BC＝2，CD＝，
所以AD＝＝＝3，
所以△ABC 面积的最大值为×2×3＝3.
第2 课时 锐角三角函数[见A 本P80]
1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则∠A 的余弦值是( C )
A. B. C. D.
2. 如图28－1－12，将∠AOB 放置在5×5 的正方形网格中，则tan∠AOB 的值是( B )
图28－1－12
A. B.
C. D.
3．如图28－1－13 是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC 的
长为( C )
A．30 cm B．20 cm
C．10 cm D．5 cm
【解析】 BC＝AC·tan∠BAC＝30×＝10(cm)．
图28－1－13
图28－1－14
4．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，cosB＝，则AC∶BC∶AB＝( A )
A．3∶4∶5 B．5∶3∶4
C．4∶3∶5 D．3∶5∶4
【解析】 由cosB＝＝，设BC＝4x，AB＝5x，
则AC＝＝＝3x，
∴AC∶BC∶AB＝3x∶4x∶5x＝3∶4∶5，故选A.
5．如图28－1－14，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC 的长为( A )
A．4 B．2
C. D.
【解析】 ∵cosB＝，∴＝.∵AB＝6，∴BC＝×6＝4，故选A.
6．如图28－1－15，P 是∠α 的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则tanα 等于( C )
图28－1－15
A. B. C. D.
7．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，则sinB＝____，cosB＝____，sinA＝____，cosA
＝____，tanA＝____，tanB＝____．
【解析】 AB＝＝＝10.
sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，
sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝，tanB＝＝＝.
8. [2013·杭州]在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB
＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是__②③④__．(只需填上正确结论的序号)
9. [2013·安顺]在Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则Rt△ABC 的面积为__24__．
10．(1)在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝5，求sinA，cosA，tanA.
(2)在△ABC 中，若三边BC，CA，AB 满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，求sinA，cosB，tanA.
解：(1)由勾股定理，知AC＝＝＝，
∴sinA＝＝，tanA＝＝＝，
cosA＝＝.
(2)设BC＝5k，CA＝12k，AB＝13k.
∵BC2＋CA2＝25k2＋144k2＝169k2＝AB2，
∴△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，cosB＝＝，tanA＝＝.
11．(1)若∠A 为锐角，且sinA＝，求cosA，tanA.
(2)已知如图28－1－16，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B 的正弦、余弦值．
图28－1－16
解：(1)设在△ABC 中，∠C＝90°，∠A 为已知锐角，∵sinA＝＝，设a＝3k，c＝5k，∴b＝＝＝
4k，
∴cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.
(2)∵∠C＝90°，tanA＝＝，
∴设BC＝x，AC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinB＝＝＝，
cosB＝＝＝.
12．如图28－1－17，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB 的值
是( C )
A. B. C. D.
图28－1－17
图28－1－18
13．如图28－1－18，在半径为5 的⊙O 中，弦AB＝6，点C 是优弧AB 上一点(不与点A，B 重
合)，则cosC 的值为____．
【解析】 连接AO 并延长交⊙O 于点D，连接BD，
可得AD 为⊙O 直径，故∠ABD＝90°.
∵⊙O 的半径为5，弦AB＝6，
∴BD＝＝＝8.∵∠D＝∠C，
∴cosC＝cosD＝＝＝.
14．如图28－1－19，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD 的
值．
图28－1－19
解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BCD＝90°，
∠B＋∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A.
∵AB＝10，AC＝8，
∴cos∠BCD＝cosA＝＝＝.
15．已知α 为锐角，且tanα＝2，求的值．
【解析】 根据锐角三角函数的定义，结合图形设参数即可求出各边的比，从而得出sinα、
cosα 的值进行计算．
解：如图所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，
设AC＝k，BC＝2k，则∠A＝α.
∵AB＝＝
＝k，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，
∴＝＝.
16．如图28－1－20，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α 的邻边与对边的比叫做角α 的余
切，记作cotα，即cotα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
(1)cot30°＝________；
(2)如图，已知tanA＝，其中∠A 为锐角，试求cotA 的值．
图28－1－20
解：(1)
(2)∵tanA＝＝，∴cotA＝＝.
第3 课时 特殊角三角函数值 [见B 本P80]
1. 3tan30°的值等于( A )
A. B．3
C. D.
2. 计算6tan45°－2cos60°的结果是( D )
A．4 B．4
C．5 D．5
3．如图28－1－21，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB 的值为( C )
A. B.
C. D．1
【解析】 ∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sinB＝.
图28－1－21
图28－1－22
4．如果在△ABC 中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是( C )
A．△ABC 是直角三角形
B．△ABC 是等腰三角形
C．△ABC 是等腰直角三角形
D．△ABC 是锐角三角形
【解析】 ∵sinA＝cosB＝，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC 是等腰直角三
角形．
5．如图28－1－22，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24 m，则该树高为(
A )
A．8 m B．12 m
C．12 m D. 12 m
【解析】 树高为24×tan30°＝24×＝8(m)．
6．(1)cos30°的值是____．
(2)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝__－__(结果保留根号)．
【解析】 原式＝×－＝－.
(3)cos245°＋tan30°·sin60°＝__1__．
【解析】 cos245°＋tan30°·sin60°＝＋×＝ ＋＝1.
7．根据下列条件，求出锐角A 的度数．
(1)sinA＝，则∠A＝__60
°
__；
(2)cosA＝，则∠A＝__60°__；
(3)cosA＝，则∠A＝__45°__；
(4)cosA＝，则∠A＝__30°__．
8．如图28－1－23 是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD⊥AB，CD＝3 m，∠CAD＝∠CBD＝
60°，求拉线AC 的长．
图28－1－23
解：在Rt△ACD 中sin∠CAD＝，
则AC＝＝＝2(m)．
答：拉线AC 的长是2 m.
9．式子2cos30°－tan45°－的值是( B )
A. 2－2 B．0
C．2 D．2
10．在△ABC 中，若＋(cosB－)2＝0，则∠C 的度数是( D )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】 ＋(cosB－)2＝0
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
则∠C＝180°－30°－60°＝90°
故选D.
11．如图28－1－24，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C 点测得∠ACB＝30°，在D 点测得
∠ADB＝60°，又CD＝60 m，则河宽AB 为__30__m(结果保留根号)．
图28－1－24
【解析】 因为∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，所以∠ACB＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝60 m，所
以AB＝AD·sin∠ADB＝60×＝30(m)．
12．计算：
(1)＋2sin60°tan60°－＋tan45°；
(2)－sin60°(1－sin30°)；
(3)sin260°tan45°－＋(tan30°)0.
(4)(－1)2 011－＋＋.
解：(1)原式＝1＋2××－＋1＝5－；
(2)原式＝－×
＝－＝；
(3)原式＝×1－＋1
＝－3＋1＝－1；
(4)原式＝－1－8＋1＋＝－8＋.
13．已知α 是锐角，且sin(α＋15°)＝，计算－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋的值．
【解析】 由sin60°＝，从而可求出α.
解：由sin(α＋15°)＝得α＋15°＝60°，
即α＝45°，
原式＝2－4×－1＋1＋3＝3.
14．如图28－1－25，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC 的
长．
图28－1－25
解：∵AD⊥BC 于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD 中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4.
在Rt△ADC 中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴DC＝AD＝4，
∴BC＝BD＋DC＝4＋4.
15．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__1__；①
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝__1__；②
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝__1__；③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．④
(1)如图28－1－26，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的
猜想；
图28－1－26
(2)已知：∠A 为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA.
解：(1)如图，过点B 作BH⊥AC 于点H，BH2＋AH2＝AB2
则sinA＝，cosA＝
所以sin2A＋cos2A＝＋＝＝1.
(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，
∴cos2A＝1－()2＝
∵cosA>0，∴cosA＝.
第4 课时 利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数 [见A 本P82]
1．利用计算器求sin30°时，依次按键： ，则计算器上显示的结果是( A )
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
【解析】 因为sin30°＝，故选A.
2．下列计算不正确的是( D )
A．sinα＝0.327 5，则α≈19°7′2″
B．sinβ＝0.054 7，则β≈3°8′8″
C．tanγ＝5，则γ≈78°41′24″
D．sinA＝0.726，则A≈46°36′8″
3．如图28－1－27，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河
岸边选定一点C，测出AC＝a 米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB 等于( C )
A．asin40° 米 B．acos40° 米
C．atan40° 米 D. 米
图28－1－27
图28－1－28
4．如图28－1－28，在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与
水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24 米，则旗杆的高度约为(
D )
A．24 米 B．20 米 C．16 米 D．12 米
5．用计算器计算(保留4 个有效数字)：
(1)sin35°≈__0.573__6__；
(2)cos63°17′≈__0.449__6__；
(3)tan27.35°≈__0.517__2__；
(4)sin39°57′6″≈__0.642__1__．
【解析】 (1)用计算器计算得sin35°≈0.573 576 436≈0.573 6；
(2)按键顺序： ，
结果：cos63°17′≈0.449 6；
(3)按键顺序： ，
结果：tan27.35°≈0.517 2；
(4)按键顺序： ，
结果：sin39°57′6″≈0.642 1.
6．若cosα＝0.501 8，则锐角α≈__59.88°__；若tanA＝0.375，则锐角A≈__20.56°__．
7．如图28－1－29，某游乐场内滑梯的滑板与地面所成的角∠A＝35°，滑梯的高度BC＝2 米，
滑板AB 的长约为__3.5__米(精确到0.1 米)．
图28－1－29
【解析】 ∵sinA＝，∴AB＝＝≈3.5(米)．
8．比较大小：8cos31°__>__.(填“＞”“＝”或“＜”)
9．利用计算器求下列各角(精确到1′)．
(1)sinA＝0.75，求A；(2)cosB＝0.888 9，求B；
(3)tanC＝45.43，求C；(4)tanD＝0.974 2，求D.
解：(1)∵sinA＝0.75，∴∠A≈48°35′；
(2)∵cosB＝0.888 9，∴∠B≈27°16′；
(3)∵tanC＝45.43，∴∠C≈88°44′；
(4)∵tanD＝0.974 2，∴∠D≈44°15′.
10．如图28－1－30，小明以3 米/秒的速度从山脚A 点爬到山顶B 点，已知B 点到山脚的垂
直距离BC 为24 米，且山坡坡角∠A 的度数为28°，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？
(结果精确到0.1 秒，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)
图28－1－30
解：∵sinA＝，
∴AB＝＝≈≈51.06(米)，
∴所需时间t≈51.06÷3≈17.0(秒)．
答：小明从山脚爬上山顶大约需要17.0 秒．
11．如图28－1－31，在Rt△ABO 中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则( C )
A．点B 到AO 的距离为sin54°
B．点B 到AO 的距离为tan36°
C．点A 到OC 的距离为sin36°sin54°
D．点A 到OC 的距离为cos36°sin54°
图28－1－31
图28－1－32
12．如图28－1－32，沿AC 方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点
E 同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD＝127°，沿BD 的方向前进，取∠BDE＝37°，测得BD＝
520 m，并且AC，BD 和DE 在同一平面内．
(1)施工点E 离点D 多远正好能使A，C，E 成一条直线(结果保留整数)?
(2)在(1)的条件下，若BC＝80 m，求公路CE 段的长(结果保留整数，参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
解：(1)∵∠ABD＝127°，∠BDE＝37°，
∴∠DEB＝127°－37°＝90°.
在Rt△BDE 中，cosD＝，
∴DE＝BD·cosD＝520×cos37°≈520×0.80＝416(m)，即施工点E 离点D416 m 正好能使
A，C，E 成一条直线．
(2)在(1)的条件下可得BE＝BD·sinD＝520×sin37°≈520×0.60＝312(m)，
∴CE＝BE－BC≈312－80＝232(m)．
13．如图(1)，某超市从一楼到二楼的电梯AB 的长为16.50 米，坡角∠BAC 为32°.
(1)求一楼与二楼之间的高度BC(精确到0.01 米)；
(2)电梯每级的水平级宽均是0.25 米，如图(2)，小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2 级的
高度运行，10 秒后他上升了多少米(精确到0.01 米)？(备用数据：sin32°≈0.529 9，
cos32°≈0.848 0，tan32°≈0.624 9)
(1) (2)
图28－1－33
【解析】 (1)在直角三角形ABC 中利用∠BAC 的正弦值和AB 的长求得BC 的长即可；
(2)首先根据题意求得级高，然后根据10 秒钟上升的级数求小明上升的高度即可．
解：(1)在Rt△ABC 中，∵sin∠BAC＝，
∴BC＝AB·sin∠BAC≈16.50×0.529 9≈8.74(米)．
(2)∵tan32°＝，
∴级高＝级宽×tan32°≈0.25×0.624 9＝0.156 225(米)．
∵10 秒钟电梯上升了2×10＝20(级)，
∴小明上升的高度为0.156 225×20≈3.12(米)．
14．已知：如图28－1－34，在△ABC 中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.
求：(1)AB 边上的高(精确到0.01)；
(2)∠B 的度数(精确到1′)．
图28－1－34
第14 题答图
解：(1)如图，过点C 作AB 边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH 中，sinA＝，
∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69.
(2)∵在Rt△ACH 中，cosA＝，
∴AH＝AC·cosA＝9cos48°，
∴在Rt△BCH 中，
tanB＝＝＝≈3.382，
∴∠B≈73°32′.
15．如图28－1－35，伞不论张开还是收紧，伞柄AM 始终平分同一平面内两条伞架所成的角
∠BAC，当伞收紧时，动点D 与点M 重合，且点A，E，D 在同一条直线上。已知部分伞架的长度
如下(单位： cm)：
伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86
(1)求AM 的长；
(2)当∠BAC＝104°时，求AD 的长(精确到1 cm)．
(备用数据：sin52°＝0.7880，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799)
图28－1－35
解：(1)当伞收紧时，动点D 与点M 重合，∴AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．
(2)AD＝2×36×cos52°＝2×36×0.6157≈44(cm)．
