文档文本内容
1
一次函数章节复习：点距类新定义【题集C1】
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
1. 在平面直角坐标系
中，对于任意两点
与
的“非常距离”，给出如下定义：
若
，则点
与点
的“非常距离”为
；
若
，则点
与点
的“非常距离”为
．
例如：点
，点
，因为
，所以点
与点
的“非常距离”为
，也就是图中线段
与线段
长度的较大值（点
为垂直于轴的直线
与垂直
于轴的直线
的交点）．
图
已知点
，
为轴上的一个动点．
若点
与点
的“非常距离”为，写出一个满足条件的点
的坐标．
直接写出点
与点
的“非常距离”的最小值．
已知
是直线
上的一个动点 ．
如图，点
的坐标是
，求点
与点
的“非常距离”的最小值及相应的点
的坐
标．
图
如图，
是以原点
为圆心，为半径的圆上的一个动点，求点
与点
的“非常距
离”的最小值及相应的点
和点
的坐标．
2
1
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
图
【答案】
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
点
的坐标是
或
．（写出一个答案即可）
点
与点
的“非常距离”的最小值是
．
①点
的坐标是
，点
与点
的“非常距离”最小，最小值为
．
点
的坐标是
，点
的坐标是
时，点
与点
的“非常距
离”最小，最小值是．
点
的坐标是
或
．（写出一个答案即可）
点
与点
的“非常距离”的最小值是
．
过点
作轴的垂线，过点
作的垂线，两条垂线交于点
，连结
．
如图，当点
在点
的左上方且使
是等腰直角三角形时，点
与点
的“非常
距离”最小．理由如下：
记此时
所在位置的坐标为
．
∵点
与
的“非常距离”是线段
与线段
长度的较大值，当点
的横坐标大于
时，线段
的长度变大，
∴点
与点
的“非常距离”变大；
当点
的横坐标小于
时，线段
的长度变大，
∴点
与点
的“非常距离”变大．
当点
的横坐标等于
时，
∴点
与点
的“非常距离”最小．
∵
，
，
，
∴
．
解得
．
∵点
的坐标是
，
∴
．
3
2
∴点
的坐标是
，
点
与点
的“非常距离”最小，最小值为
．
图
如图，对于⊙
上的每一个给定的点
，过点
作轴的垂线，过点
作轴的垂线，
两条垂线交于点
，连结
．
由①可知，当点
运动到点
的左上方且使
是等腰直角三角形时，
点
与点
的“非常距离”最小．
当点
在⊙上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使
的长度最小．
因此，将直线
沿图中所示由点
到点
的方向平移到第一次与⊙
有公共
点，
即与⊙
在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点
．
作
轴于点．设直线
与轴，轴分别交于点
，
．
可求得
，
，
，
可证
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
∴点
的坐标是
．
设点
的坐标是
，
∵
，
，
∴
．
解得
．
∴点
的坐标是
，
∴
．
4
【标注】
∴点
的坐标是
，点
的坐标是
时，
点
与点
的“非常距离”最小，最小值是．
图
【知识点】与距离有关的新定义
1
2
（1 ）
1
（2 ）
2. 在平面直角坐标系
中，对于任意两点
与
的“非常距离”，给出如下定义：
若
，则点
与点
的“非常距离”为
；
若
，则点
与点
的“非常距离”为
．
例如：点
，点
，因为
，所以点
与点
的“非常距离”为
，也就是图中线段
与线段
长度的较大值（点
为垂直于轴的直线
与垂直于
轴的直线
的交点）．
已知点
，
为轴上的一个动点．
若点
与点
的“非常距离”为，写出一个满足条件的点
的坐标．
直接写出点
与点
的“非常距离”的最小值．
已知
是直线
上的一个动点．
如图，点
的坐标是
，求点
与点
的“非常距离”的最小值及相应的点
的坐
标．
5
2
1
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
如图，
是以
为中心，过
的正六边形的边上的一个动点，写出点
与点
的“非
常距离”的最小值及相应的点
与点
的坐标．
【答案】
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
或
．
．
点
的坐标是
，点
与点
的“非常距离”的最小值为
．
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
“非常距离”的最小值为
．
∵
为轴上的一个动点，
∴设点
的坐标为
．
∵
，
∴
，
解得
或
，
∴点
的坐标是
或
．
点
与点
的“非常距离”的最小值为
．
过点
作轴的垂线，过点
作轴的垂线，两条垂线交于点
，连接
．
如图，当点
在点
的左上方且使
是等腰直角三角形时，点
与点
的“非常
距离”最小．
6
2
理由：记此时
所在位置的坐标为
．
∵点
与
的“非常距离”是线段
与线段
长度的较大值，当点
的横坐标大于
时，线段
的长度变大，
∴点
与点
的“非常距离”变大；
当点
的横坐标小于
时，线段
的长度变大，
∴点
与点
的“非常距离”变大．
当点
的横坐标等于
时，点
与点
的“非常距离”最小．
∵
，
，
，
∴
．
解得
．
∴点
的坐标是
，
∴
．
点
与点
的“非常距离”最小，最小值为
．
如图，对于正六边形上每一个给定的点
，过点
作轴的垂线，过点
作轴的垂线，
两条垂线交于点
，连接
．
由①可知，当点
运动到点
的左上方且使
是等腰直角三角形时，
点
与点
的“非常距离”最小．
当点
在正六边形上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需要使
的长
度最小．
因此，将直线
沿图中所示由点
到点
的方向平移到第一次与正六边形有
公共点，
7
【标注】
正六边形在第二象限内的顶点即为点
．
连接
，可知
为含
角的直角三角形．
∴
，
∴
．
设
点坐标为
，
∵
，
∴
，
解得
，
∴
．
∴
．
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
，
“非常距离”的最小值为
．
【知识点】与函数有关的新定义
【知识点】坐标与距离
【知识点】象限内坐标的特征
【知识点】一次函数与动点问题
【思想】数形结合思想
1
2
（1 ）
3. 对于平面直角坐标系中的任意两点
，
给出如下定义：我们把
叫做
、
两点之间的直角距离，记作
．
如图，已知
为坐标原点，点
是直线
上的一个动点．
x
y
O
图
若点
坐标为
，则
．
若点
，求
的最小值．
8
（2 ）
1
方法一：
方法二：
2
（1 ）
【解析】
如图，若点
是已知直线
（
，
）上的一个动点，点
是正方形
上的一个动点，其中
，且直线
（
，
）与正方形
没有公
共点，求
的最小值（用含，的代数式表示）．
x
y
O
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
有最小值
．
当
时，
的最小值为
，当
时，
的最
小值为
．
∵点
是直线
上的一个动点，且点
坐标为
，
∴
．
∴
．
故答案为
．
∵点
是直线
上的一个动点，
设点
的坐标为
，
∵
，
∴
，
当
时，
有最小值
．
如图所示，
9
方法三：
（2 ）
x
y
O
在直线
上，任取一点
，构造矩形
．
由直角距离的定义可得，
．
如图，当点
移动到点
时，
．
∴
，
∴当点
向左上移动时，
减小，
当点
的坐标为
时，
有最小值
．
满足
的
点轨迹为以
为中心，
为
对角线长度的正方形，
故而问题可转化为当正方形成直线有交点，求的最小值，
由图易知，当
时，最小，
此时
．
当
时，如图所示：
x
y
O
当点
在点
处，点
在直线
与直线
的交点时，取得最小值，
10
【标注】
∵
，四边形
是正方形，
∴
，
∴点
的坐标为
，
∴
的最小值为
．
当
时，如图所示：
x
y
O
此时，满足
取得最小值的情况较多，取如图所示的情况，
易得
的最小值为
．
当
时，如图所示：
x
y
O
当点
与点
重合，点
为直线
的交点时，
取得最小值，
∵
，
，
∴
的最小值为
．
综上所述，当
时，
的最小值为
，当
时，
的
最小值为
．
【知识点】与距离有关的新定义
