文档文本内容
1
【三角函数的几何综合应用】 题集【B】
一、网格中的锐角三角函数
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，
的顶点是正方形网格的格点，则
的值为（ ）．
【答案】A
过
作
，交
于
，
则
，
，
则
．
故选：
．
【知识点】探究一般角的三角函数的值
A.
B.
C.
D.
2. 如图，四边形
的顶点都在正方形网格的格点上，则
的值为（ ）．
2
【解析】
【标注】
【答案】A
由网格特点可知，
，
，
则
．
【题型】探究正弦，余弦和正切的三角函数
3.
【解析】
【标注】
如图，在
的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，
的顶点都在格点上，图中
．
．
【答案】
，
，
，
∴
，
∴
，
在
中，
．
【知识点】勾股逆定理的应用
A.
B.
C.
D.
4. 如图，
的顶点都是正方形网格中的格点，则
（ ）．
3
【解析】
【标注】
【答案】A
由图可得，
．
故选
．
【题型】正弦定理与余弦定理
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，点
、
、
是正方形网格上的三个格点，⊙
的半径为
，点
是优弧
上的一点，则
的值是（ ）．
【答案】A
由圆周角定理可知，
，
．
【知识点】圆周角定理以及应用
6.
【解析】
如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为，点
、
、
都是格点，则
．
【答案】
，
，
则
，
则
为等腰直角三角形，
，
则
，
4
【标注】
故答案为：
．
【能力】推理论证能力
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】勾股定理与实际问题
7.
【解析】
【标注】
如图，在
的网格中，以顶点
为圆心，以个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点
，则
的值为 ．
【答案】
如图，连接
，过点
作
于点
，
则
，
，
∵在
中，
，
∴
，
∴在
中，
．
故答案是：
．
【知识点】圆与三角函数
8. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点
、
、
、
都在这些小正方形的顶点上，
与
相交
于点
，则
的值为 .
5
【解析】
【标注】
【答案】
如图，连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
，
∴
，
根据题意，得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
．
故答案为：．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】比例的综合应用
【知识点】比例线段的性质
【思想】数形结合思想
【能力】推理论证能力
9. 数学老师布置了这样一个问題：
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
如果，都为锐角．且
，
．求
的度数．
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图和图．
图
图
请你分别利用图，图求出
的度数，并说明理由．
请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：
如果，都为锐角，当
，
时，在下图的正方形网格中，利用已作出的锐
角，画出
，使得
．求出
的度数，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
①如图中，
图
在
和
中，
，
∴
≌
∴
，
，
∵
，
7
（2 ）
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
②如图中，设正方形边长为，则
，
，
，
图
∴
，
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
∵
，
∵
，
，
，
∴
．
如图，
,
，
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
8
【标注】
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】角的和差的计算与证明-不需要分类讨论
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
【解析】
如图，在由小正方形组成的网格中，点
、
均在格点上．
在图中画出一个直角
，使得点
在格点上且
．
图
在图中画出一个
，使得点
在格点上且
，请在图所示的网格中，
用无刻度的直尺，画出
，并简要说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
如图，选取点
，连接
、
，点
即为所求．
如图，选取点
，连接
、
，点
即为所求．理由见解析．
如图，选取点
，连接
、
，点
即为所求．
9
（2 ）
【标注】
如图，选取点
，连接
、
，点
即为所求．
理由：如图，
且
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】网格中的锐角三角函数
二、面积
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图所示，在锐角
中，求证：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
过
点做
于点
．
在
中，
，
10
（2 ）
【标注】
∴
，
同理
，
∴
．
同理，再过点
作
于点
，可以求得
．
∴
．
由（）可知，
，
∴
，
∴
，
同理
．
【知识点】解直角三角形
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，若
和
的面积分别为
、
，则（ ）．
【答案】D
过点
和
，分别可作
和
延长线上的高，
记长度分别为
，
，
，∴
，
，
，
，
∴
．
故选
．
【知识点】同角的三角函数关系
3.
11
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
（1 ）
【解析】
问题背景：已知
的顶点
在
的边
所在直线上（不与
，
重合），
交
所在
直线于点
，
交
所在直线于点
，记
的面积为
，
的面积为
．
图
图
图
图
初步尝试：如图①，当
是等边三角形，
，
，且
，
时，则
__________．
类比探究：在（）的条件下，先将点
沿
平移，使
，再将
绕点
旋转至
如图②所示位置，求
的值．
延伸拓展：当
是等腰三角形时，设
．
如图③，当点
在线段
上运动时，设
，
，求
的表达式（结
果用，和的三角函数表示）．
如图④，当点
在
的延长线上运动时，设
，
，直接写出
的
表达式，不必写出解答过程．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
．
．
．
．
如图中，
图
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
12
（2 ）
1
2
（3 ）
∴
，
都是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
故答案为
．
如图中，设
，
．
图
∵
，
，
∴
，∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
如图中，设
，
，
图
同法可证
，可得
，
∵
，
，
∴
．
如图中，设
，
，
13
【标注】
图
同法可证
，可得
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】整式的定义
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形与实际问题
【知识点】等边三角形的判定
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】探究一般角的三角函数的值
4.
【解析】
如图所示，已知矩形
，
，
，将矩形绕点
逆时针旋转得到矩形
，点
恰好落在
上，连接
，求
．
【答案】
．
连接
，如图所示．
∵
，
由一半模型得
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
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【标注】
，
∴
．
【知识点】旋转性质综合应用
5.
【解析】
【标注】
如图是由一个角为
且边长为的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点
，
，
都在格
点上，则
．
【答案】
显然
为等腰，则
为高；
由
为等边三角形，可求得
；
在
中求得
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
