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1
一次函数与存在性（1）等腰三角形【题集A2】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
O
P
H
B
A
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系内．已知一次函数
的图象与，轴分别交于
，
两点．
O
B
A
．
点
是直线
上的一个动点．当
是等腰三角形时．求出此时
点的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
或
或
或
．
当
时，
，解得
，则
点坐标为
；
∴
．
当
时，
，则
点坐标为
；
①当
时，
在
点，此时
是等腰三角
形；
②当
时，过
作
于
，设
的坐标
是
，
∵在
中，根据勾股定理得：
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
解得：
，
当
时，
；
当
时，
；
∴
或
；
③当
时，作
的垂直平分线交
于
，此时
，
且
的横坐标是
，
2
【标注】
代入
得：
，
∴
．
综合上述，
的坐标是
或
或
或
．
【知识点】一次函数与等腰三角形结合
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系中，
为等腰三角形，
，
所在直线的解析式为
．
x
y
O
求
、
两点的坐标．
求直线
的解析式．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
．
，由题意可知：
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
设直线
解析式为
，
将点
，
代入：
，
解得：
，
∴直线
解析是为：
．
【知识点】一次函数与等腰三角形结合
3
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，直线
与
交于点
，分别交轴于点
和点
，点
是直线
上的一个动点．
求点
的坐标．
当
为等腰三角形时，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
，
，
．
由题意，得
，解得
，
∴点
的坐标为
．
当
为等腰三角形时，有以下三种情况，如图．
图
设动点
的坐标为
．
在
中，当
时，
，
∴
，点
的坐标为
．
在
中，当
时，
，∴
，
点
的坐标为
．
∴
．
①当
时，过点
作
轴，垂足为点
，则
．
4
【标注】
∴
，
，
．
∴
，点
的坐标为
．
②当
时，过点
作
轴，垂足为点
，则
．
∵
，
，
，
∴
．
解得
，
（舍去）．此时，
．
∴点
的坐标为
．
③当
，或
时，同理可得
，
．
由此可得点
的坐标分别为
，
，
，
．
【知识点】一次函数与等腰三角形结合
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
如图，已知直线
和直线
．其中直线分别交轴、轴于点
、
，与直线
交于点
．
求，的值．
请问在轴上是否存在点
，使得
为等腰三角形？若存在，请求出点
的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
存在，
、
、
或
．
，
，即
，
．
几何法：
两圆一垂，可确定一共有四个点符合题意
，
，
，
，
，
，
5
方法二：
【标注】
①
：
，∴
或
，即
或
；
②
：
，∴如图
可得，此时
垂直平分
，即
，∴
；
③
：∵
为等腰直角三角
形，∴
，此时
和
重合，即
，
综上：
、
、
或
．
代数法：
设
，则
，
，
①
：
，解得
，即
或
；
②
：
，解得
，即
或
（与
重合，舍去）；
③
：
，解得
，即
；
综上：
、
、
或
．
【知识点】一次函数与动点问题
