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专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】.................................................................................................1
【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】.................................................................................................3
【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】.........................................................................................5
【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】.................................................................................................7
【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】..............................................................................................................9
【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】............................................................................................................11
【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】.......................................................................................................13
【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】...................................................................................................15
【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y 轴交于
点C（0，5）．
（1）求b，c，m 的值；
（2）如图1，点D 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D 在第一象限内，过点D 作x 轴的平
行线交抛物线于点E，作y 轴的平行线交x 轴于点G，过点E 作EF⊥x 轴，垂足为点F，当四边形
DEFG 的周长最大时，求点D 的坐标；
（3）如图2，点M 是抛物线的顶点，将△MBC 沿BC 翻折得到△NBC，NB 与y 轴交于点Q，在对称轴
上找一点P，使得△PQB 是以QB 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标．
【变式1-1】（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=−√3
6 x
2+ 2√3
3
x +2√3与x 轴
交于A，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C，它的对称轴与x 轴交于点D，直线L 经过C，
D 两点，连接AC．
（1）求A，B 两点的坐标及直线L 的函数表达式；
（2）探索直线L 上是否存在点E，使△ACE 为直角三角形，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说
明理由．
【变式1-2】（2022 秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y
轴交于点C，M 为抛物线的顶点．
（1）求M 点的坐标；
（2）求△MBC 的面积；
（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【变式1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点
C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l 过点A 与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ 是直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例2】（2022•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x 轴于点A（﹣1，0），点B
（4，0），交y 轴于点C．连接BC，过点A 作AD∥BC 交抛物线于点D（异于点A）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE∥y 轴，交AD 于点E，过点E 作EG⊥BC 于点
G，连接PG．求△PEG 面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移3
2
个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴
上确定一点M，使得△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M 的坐标，并任选
其中一个点的坐标，写出求解过程．
【变式2-1】（2022•湘西州）定义：由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的
封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3 与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c 组成一个开口
向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x 轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B 在点A 右侧），
与y 轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G 的坐标．
（2）点M 是x 轴下方抛物线C1上的点，过点M 作MN⊥x 轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN
与线段DM 的长度的比值．
（3）如图②，点E 是点H 关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x 轴上是否存在点F，使得△EFG
是以EG 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（2022 秋•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B 分别是y 轴正半轴，x 轴正
半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO 为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=−3
4 x
2+3x+k 交y
轴于点D，P 为顶点，PM⊥x 轴于点M．
（1）求OD，PM 的长（结果均用含k 的代数式表示）．
（2）当PM＝BM 时，求该抛物线的表达式．
（3）在点A 在整个运动过程中，若存在△ADP 是等腰三角形，请求出所有满足条件的k 的值．
【变式2-3】（2022•杭州校级自主招生）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4 经过△ABC 的三个顶点，已知
BC∥x 轴，点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴上，且AC＝BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求A 点坐标并求抛物线的解析式；
（3）若点P 在x 轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PAB 是等腰三角形？若存在，求出所
有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例3】（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A 和B（5，0），与y 轴交于点C
（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点M，与BC 交于点F，点D 是对称轴上一点，当点D 关于直线BC 的
对称点E 在抛物线上时，求点E 的坐标；
（3）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在直线BC 上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q 为顶点的三角
形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2022•碑林区校级三模）已知抛物线C1：y= 1
4
x2+bx+c 的图象与x 轴交于点A（﹣2，0），与
y 轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求抛物线C1的表达式和点D 的坐标；
（2）将抛物线C1沿x 轴平移m（m＞0）个单位长度，所得新的抛物线记作C2，C2的顶点为D′，与抛
物线C1交于点E，在平移过程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，请求出满足条件的
抛物线C2的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3 与x 轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y
轴交于点C，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F 的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP 面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c 的图象经过点A（0，3），B（1，0），过
点A 作AC∥x 轴交抛物线于点C，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E，点P 是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE 面积最大时，求出P 点坐标；
（3）将抛物线L 向上平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE 的边
界），求h 的取值范围；
（4）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF 成为以点P 为直角
顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例4】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3 的图象与x 轴相交于点A 和点B（1，0），与y 轴交
于点C，连接AC，有一动点D 在线段AC 上运动，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点E，交x 轴于点
F，AB＝4，设点D 的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE 的面积最大时，点D 的坐标是 ；
（3）当m＝﹣2 时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原
点O，顶点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C 的坐标；
（2）设该抛物线上一动点P 的横坐标为t．
①在图1 中，当﹣3＜t＜0 时，求△PBO 的面积S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值；
②在图2 中，若点P 在该抛物线上，点E 在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E 为顶点的四边形是
平行四边形，求点P 的坐标；
【变式4-2】（2022•福山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y 轴负
半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x 轴于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC 的函数表达式；
（3）若点P 是抛物线上一点，过点P 作PQ⊥x 轴交直线BC 于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，
Q 为顶点的平行四边形．若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于点A（﹣3，0），B（1，
0）两点，与y 轴交于点C（0，3），点P 是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线上运动（不与A，C 重合），过点P 作PD⊥AB，垂足为
D，PD 交AC 于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF 的面积的最大值；
（3）如图2，点Q 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，
C，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】
【例5】（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践
如图，二次函数y＝﹣x2+c 的图象交x 轴于点A、点B，其中点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为
（0，2），过点A、C 的直线交二次函数的图象于点D．
（1）求二次函数和直线AC 的函数表达式；
（2）连接DB，则△DAB 的面积为
6
；
（3）在y 轴上确定点Q，使得∠AQB＝135°，点Q 的坐标为 ；
（4）点M 是抛物线上一点，点N 为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点
N 为顶点的四边形是以AD 为边的矩形？若存在，请你直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2022•博山区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点
C，且点A 的坐标为（﹣2，0），直线BC 的解析式为y= 1
2
x﹣4．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点A 作AD∥BC 交抛物线于点D（异于点A），P 是直线BC 下方抛物线上一点，过点
P 作PQ∥y 轴，交AD 于点Q，过点Q 作QR⊥BC 于点R，连接PR．求△PQR 面积的最大值及此时点P
的坐标．
（3）如图2，点C 关于x 轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A 的方向平移2√5个单位长度得到
新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标
系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 交y 轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过
点A 作AB⊥y 轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D 点的坐标为（4，0），连接AD，
BC，BD．点E 从A 点出发，以每秒√2个单位长度的速度沿着射线AD 运动，设点E 的运动时间为m 秒，
过点E 作EF⊥AB 于F，以EF 为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G 随着E 点运动到达BC 上时，求此时m 的值和点G 的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直
接写出点G 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【变式5-3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c 的对称轴是直线x＝1，与x 轴交于点A，B
（3，0），与y 轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DM⊥x 轴，垂足为点M，DM 交直线BC
于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F 为顶点的四
边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】
【例6】（2022•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A，B 在x 轴上，抛物线y＝﹣
x2+bx+c 经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC 交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP 的
最小值；
（3）N 为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A 为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6 与x 轴、y 轴分别相交于点A、C；经过点A、
C 的抛物线C：y = 1
2 x
2+bx +c与x 轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x 轴相交于点E．
（1）求抛物线C 的对称轴．
（2）将直线l 向右平移得到直线l1．
①如图①，直线l1与抛物线C 的对称轴DE 相交于点P，要使PB+PC 的值最小，求直线l1的解析式．
②如图 ②，直线l1与直线BC 相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M 为顶点的四
边形是菱形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2022•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝ax2+bx+3 经过点A
（3，0）、B（4，1）两点，与y 轴的交点为C 点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形OABC 的面积；
（3）设抛物线y＝ax2+bx+3 的对称轴是直线l，点D 与点B 关于直线l 对称，在线段BC 上是否存在一点
E，使四边形ADCE 是菱形，如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2022•山西模拟）综合与探究
如图，二次函数y＝ax2+bx+4 的图象与x 轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），点E 是x 轴正半轴上
的一个动点，过点E 作直线PE⊥x 轴，交抛物线于点P，交直线BC 于点F．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点E 在线段OB 上运动时（不与点O，B 重合），恰有线段PF= 1
2
EF，求此时点P 的坐标．
（3）试探究：若点Q 是y 轴上一点，在点E 运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q 为顶
点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】
【例7】（2022•铁锋区二模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b 与x 轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，过A，B 两点的
抛物线交x 轴于另一点C，且OA＝20C，点F 是直线AB 下方抛物线上的动点，连接FA，FB．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点F 与抛物线的顶点重合时，△ABF 的面积为 ；
（3）求四边形FAOB 面积的最大值及此时点F 的坐标．
（4）在（3）的条件下，点Q 为平面内y 轴右侧的一点，是否存在点Q 及平面内另一点M，使得以A，
F，Q，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【变式7-1】（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y =a x
2+bx +c经过A（﹣2，
0），B(1，−9
4 )两点，且与y 轴交于点C，点B 是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线L1的表达式；
（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E 在L2上（点D 在点E 的上方），若以点A，C，D，E 为顶点
的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．
【变式7-2】（2022 秋•南宁期中）如图，抛物线与y 轴交于点C（0，3），与x 轴于点A（﹣1，0）、B
（3，0），点P 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）Q 是抛物线上第一象限除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标；
（3）若M、N 为抛物线上两个动点，分别过点M、N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D、E．是否存
在点M、N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．
【变式7-3】（2022•南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y 轴交于点C（0，3），与x 轴交于点A，
B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标．
（3）若M，N 为抛物线上两个动点，分别过点M，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D，E．是否存
在点M，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．
【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】
【例8】（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3 与x 轴交于点A（3，0），与y 轴交于点B，点C 在直线
AB 上，过点C 作CD⊥x 轴于点D（1，0），将△ACD 沿CD 所在直线翻折，使点A 恰好落在抛物线上
的点E 处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE 的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2 经过A（−1
2
，0），B
（3，7
2
）两点，与y 轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线上，过P 作PD⊥x 轴，交直线BC 于点D，若以P、D、O、C 为顶点的四边形是平
行四边形，求点P 的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【变式8-2】（2022•运城二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8 与x 轴交于点A（﹣2，0），B（8，0）两
点，与y 轴交于点C，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作直线PE∥y 轴，交直线BC 于点
D，交x 轴于点F，以PD 为斜边，在PD 的右侧作等腰直角△PDF．
（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC 的表达式；
（2）设点P 的横坐标为m（0＜m＜3），在点P 运动的过程中，当等腰直角△PDF 的面积为9 时，请
求出m 的值；
（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符
合条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2022•罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y=−1
3
x2+bx+c 交x 轴于A（﹣3，0），B（4，
0）两点，交y 轴于点C，点P 是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，
请说明理由．
