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浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 本章复习同步测试1
类型之一 一元二次方程的有关概念
1．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0 是关于x 的一元二次方程，则( B )
A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝－2 D．m≠±2
【解析】 由一元二次方程的定义知即 ∴m＝2.
2．设x2，x2是方程x2－x－2 013＝0 的两实数根，则x1
3＋2 014x2－2 013＝__2__014__.
3．已知x 是一元二次方程x2－2x＋1＝0 的根，求代数式÷的值．
解：∵x2－2x＋1＝0，∴x1＝x2＝1，
∴原式＝÷
＝×＝＝.
类型之二 一元二次方程的解法
4．用括号中的方法解下列方程：
(1)5(x＋1 )2＝(直接开平方法)；
(2)9(x－2)2＝4(x＋1)2(因式分解法)；
(3)4x2＋5＝12x(配方法)；
(4)2x2－3x－1＝0(公式法)．
【解析】 (1)把方程化为形如(x＋m)2＝n(n≥0)的形式后，直接开平方；
(2)运用平方差公式因式分解；
(3)把方程化为一般形式，再配方；
(4)把方程化为一般形式，确定a，b，c 的值，代入公式中计算．
解：(1)原方程可化为(x＋1)2＝，
两边同时开方，得x＋1＝±，
即x＋1＝或x＋1＝－，
∴x1＝－，x2＝－；
(2)原方程可化为[3(x－2)]2－[2(x＋1)]2＝0，
∴[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0，即(5x－4)(x－8)＝0，
∴5x－4＝0 或x－8＝0，∴x 1＝，x2＝8；
(3)移项，得4x2－12x＝－5，
∴x2－3x＝－，
配方，得x2－3x＋＝－＋，
即＝1，∴x－＝±1，
∴x1＝，x2＝；
(4)∵a＝2，b＝－3，c＝－1，
b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－1)＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
5．关于x 的一元二次方程x2－2x＋k＝0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( A )
A．k<1 B．k>1 C．k<－1 D．k>－1
【解析】 ∵关于x 的一元一次方程x2－2x＋k＝0 有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即4－4k＞
0，k＜1.
类型之三 一元二次方程根的判别式
6．若关于x 的一元二次方程kx2－2x－1＝0 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是(
D )
A．k＞－1 B．k＜1 且k≠0
C．k≥－1 且k≠0 D．k＞－1 且k≠0
7．关于x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋3＝0 有实数根，则整数a 的最大值是( C )
A．2 B．1
C．0 D．－1
8．已知关于x 的一元二次方程x2＋bx＋b＝0 有两个相等的实数根，则b 的值是__0 或
4 __．
9 若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx 2＋ax＋b＝0 有实数根，则k 的取值范围是__k ≤
4 且
k ≠0
__．
10．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0
(1)求出方程的根；
(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解： (1)根据题意得m≠1，
Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，
∴x1＝＝，
x2＝＝1，
(2)由(1)知x1＝＝1＋，
∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴m－1＝1 或2.
∴m＝2 或3.
类型之四 一元二次方程根与系数的关系
11．已知α、β 是关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0 的两个不相等的实数根，且满足
＋＝－1，则m 的值是( A )
A．3 B．1
C．3 或－1 D．－3 或1
12．已知关于x 的一元二次方程x2－x－3＝0 的两个实数根分别为α、β，则(α＋3)(β＋3)＝
__9__．
13．已知关于x 的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0 有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k 的取值范围；
(2)是否存在实数k 使得x1·x2－x1
2－x2
2≥0 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理
由．
解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴[－(2k＋1)]2－4(k2＋2k)≥0，
∴4k2＋4k＋1－4k2－8k≥0
∴1－4k≥0，
∴k≤.
∴当k≤时，原方程有两个实数根．
(2)假设存在实数k 使得x1·x2－x1
2－x2
2≥0 成立．
∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2＋2k.
由x1·x2－x1
2－x2
2≥0，
得3x1·x2－(x1＋x2)2≥0.
∴3(k2＋2k)－(2k＋1)2≥0，
整理得：－(k－1)2≥0，
∴只有当k＝1 时，上式才能成立．
又∵由(1)知k≤，
∴不存在实数k 使得x1·x2－x1
2－x2
2≥0 成立．
14．如果关于x 的方程x2＋px＋q＝0 的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以
上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x 的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方
程两根的倒数；
(2)已知a，b 满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
(3)已知a，b，c 均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c 的最小值．
解：(1)设x2＋mx＋n＝0(n≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－m，x1·x2＝n，
∴＋＝＝－，·＝，
∴所求一元二次方程为x2＋x＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0.
(2)①当a≠b 时，由题意知a，b 是一元二次方程x2－15x－5＝0 的两根，∴a＋b＝15，ab＝－
5，
∴＋＝＝＝＝－47.
②当a＝b 时，＋＝1＋1＝2.
综上，得＋＝－47 或2.
(3)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝，∴a，b 是方程x2＋cx＋＝0 的两根，
∴Δ＝c2－≥0.∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，
∴c 的最小值为4.
类型之五 一元二次方程的创新应用
15．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，
x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0 的两个根，则x1*x2＝__－
3 或
3 __．
16．已知整数k＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程x2－3x＋8＝0，则△ABC 的周长是
__6 或
12
或
10
__．
类型之六 一元二次方程的创新应用
17．“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250 元．如果每吨售价定为290 元时，平
均每天可售出16 吨．
(1)若代销点采取降价促销的方式，试建立每吨的销售利润y(元)与每吨降价x(元)之间的函数
关系式；
(2)若每吨售价每降低5 元，则平均每天能多售出4 吨．问：每吨水泥的实际售价定为多少元
时，每天的销售利润平均可达720 元？
解：(1)依题意，得y＝290－x－250＝40－x；
(2)依题意，得(40－x)＝720，
解得x1＝x2＝10，290－10＝280(元)．
答：每吨水泥的实际售价定为280 元时，每天的销售利润平均可达720 元．
