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解一元二次方程
21．2.1 配方法
第1 课时 用直接开平方法解一元二次方程
[见B 本P2]
1．一元二次方程x2－25＝0 的解是( D )
A．x1＝5，x2＝0 B．x＝－5
C．x＝5 D．x1＝5，x2＝－5
2．一元二次方程(x＋6)2＝16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝
4，则另一个一元一次方程是( D )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
3．若a 为一元二次方程(x－)2＝100 的一个根，b 为一元二次方程(y－4)2＝17 的一个根，且a，
b 都是正数，则a－b 等于( B )
A．5 B．6
C. D．10－
【解析】 (x－)2＝100 的根为x1＝－10＋，x2＝10＋，因为a 为正数，所以a＝10＋.(y－4)2＝17
的根为y1＝4＋，y2＝4－，因为b 为正数，所以b＝4＋，所以a－b＝10＋－(4＋)＝6.
4．解关于x 的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B )
A．有两个解x＝±
B．当n≥0 时，有两个解x＝±－m
C．当n≥0 时，有两个解x＝±
D．当n≤0 时，无实数解
5．若关于x 的方程(3x－c)2－60＝0 的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为( B )
A．1 B．8 C．16 D．61
【解析】 原方程可化为(3x－c)2＝60，3x－c＝±，3x＝c±，x＝.因为两根均为正数，所以c＞＞
7，所以整数c 的最小值为8.故选B.
6．一元二次方程x2－4＝0 的解是__x ＝
±2
__．
7．当x＝__－
7 或－
1 __时，代数式(x－2)2与(2x＋5)2的值相等．
【解析】 由(x－2)2＝(2x＋5)2，得x－2＝±(2x＋5)，即x－2＝2x＋5 或x－2＝－2x－5，所以x1
＝－7，x2＝－1.
8．若x＝2 是关于x 的方程x2－x－a2＋5＝0 的一个根，则a 的值为__±__．
【解析】 把x＝2 代入方程x2－x－a2＋5＝0 得22－2－a2＋5＝0，即a2＝7，所以a＝±.
9．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2－b2，则方程(4
3)
☆
☆x＝13 的解为x＝
__±6__．
【解析】 4☆3＝42－32＝16－9＝7，7☆x＝72－x2，
∴72－x2＝13.∴x2＝36.∴x＝±6.
10．如果分式的值为零，那么x＝__－
2 __．
【解析】 由题意得x2－4＝0 且x－2≠0，∴x＝－2.
11．求下列各式中的x.
(1)x2＝36；
(2)x2＋1＝1.01；
(3)(4x－1)2＝225；
(4)2(x2＋1)＝10.
解：(1)x1＝6，x2＝－6；
(2)x1＝0.1，x2＝－0.1；
(3)x1＝4，x2＝－；
(4)x1＝2，x2＝－2.
12．已知关于x 的一元二次方程(x＋1)2－m＝0 有两个实数根．则m 的取值范围是( B )
A．m≥－ B．m≥0
C．m≥－1 D．m≥2
【解析】 (x＋1)2－m＝0，(x＋1)2＝m，
∵一元二次方程(x＋1)2－m＝0 有两个实数根，
∴m≥0.
13．已知等腰三角形的两边长分别是(x－3)2＝1 的两个解，则这个三角形的周长是( C )
A．2 或4 B．8
C．10 D．8 或10
【解析】 开方得x－3＝±1，即x＝4 或2，则等腰三角形的三边长只能为4，4，2，则周长为10.
故选C.
14．解下列方程：(1)[2012·永州](x－3)2－9＝0；
(2)(2x－3)(2x－3)＝x2－6x＋9；
(3)(2x＋3)2－(1－)2＝0.
解：(1)(x－3)2＝9，x－3＝±3，∴x1＝0，x2＝6；
(2)原方程可化为(2x－3)2＝(x－3)2，
两边开平方得2x－3＝±(x－3)，
即2x－3＝x－3 或2x－3＝－(x－3)，
∴x1＝0，x2＝2；
(3)原方程可化为(2x＋3)2＝(1－)2，
∴2x＋3＝±(1－)．
∴2x＋3＝1－或2x＋3＝－(1－)．
∴x1＝－1－，x2＝－2＋.
15．以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出距离s(单位：米)与标枪出手的
速度v(单位：米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系：s＝＋2，如果抛出48 米，试求标枪出
手时的速度(精确到0.1 米/秒)．
解：把s＝48 代入s＝＋2，
得48＝＋2，v2＝46×9.8，
∴v1≈21.2，v2≈－21.2(舍去)．
答：标枪出手时的速度约为21.2 米/秒．
16．已知＝，求关于x 的方程x2－3m＝0 的解．
解：＝，方程两边同时乘m(m－1)，
得2m＝3(m－1)，解得m＝3，
经检验m＝3 是原方程的解．
将m＝3 代入方程x2－3m＝0，
则x2－9＝0，解得x＝±3，
即关于x 的方程x2－3m＝0 的解为x1＝3，
x2＝－3.
17．已知a＋b＝4n＋2，ab＝1，若19a2＋150ab＋19b2的值为2 012，求n.
解：∵19a2＋150ab＋19b2＝19(a＋b)2－38ab＋150ab＝19(a＋b)2＋112ab，且a＋b＝4n＋2，ab
＝1，
又19a2＋150ab＋19b2的值为2 012，
∴19×(4n＋2)2＋112×1＝2 012，
即(4n＋2)2＝100，∴4n＋2＝±10，
当4n＋2＝10 时，解得n＝2；
当4n＋2＝－10 时，解得n＝－3.故n 为2 或－3.
第2 课时 用配方法解一元二次方程 [见A 本P4]
1．用配方法解方程x2－2x－1＝0 时，配方后所得的方程为( D )
A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0
C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2
2．用配方法解方程x2－x－4＝0 时，配方后得( C )
A.＝ B.＝－
C.＝ D．以上答案都不对
【解析】 先把方程化为x2－3x－12＝0，再移项得x2－3x＝12，配方得＝.
3．若一元二次方程式x2－2x－3 599＝0 的两根为a，b，且a＞b，则2a－b 之值为( D )
A．－57 B．63 C．179 D．181
【解析】 x2－2x－3 599＝0，移项得x2－2x＝3 599，x2－2x＋1＝3 599＋1，即(x－1)2＝3 600，x
－1＝60，x－1＝－60，解得x＝61 或x＝－59.∵一元二次方程式x2－2x－3 599＝0 的两根为
a，b，且a＞b，
∴a＝61，b＝－59，∴2a－b＝2×61－(－59)＝181.
4．关于x 的一元二次方程x2－5x＋p2－2p＋5＝0 的一个根为1，则实数p 的值是( C )
A．4 B．0 或2 C．1 D．－1
【解析】 把x＝1 代入原方程有1－5＋p2－2p＋5＝0，即p2－2p＋1＝0，∴(p－1)2＝0，∴p＝1.
5．把下列各式配成完全平方式：
(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；
(2)x2±__x__＋＝.
6．若方程x2＋6x＝7 可化为(x＋m)2＝16，则m＝__3__．
7．当m＝__±12__时，x2＋mx＋36 是完全平方式．
【解析】 ∵x2＋mx＋36＝x2＋mx＋62是完全平方式，∴m＝±2×1×6，∴m＝±12.
8．用配方法解一元二次方程：
(1)x2－2x＝5；(2)2x2＋1＝3x；
(3)2t2－6t＋3＝0；(4)6x2－x－12＝0；
(5)2y2－4y＝4；(6)x2＋3＝2x；
(7)x 2－2x＝2x＋1.
解：(1)配方，得(x－1)2＝6，
∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－；
(2)移项得2x2－3x＝－1，
二次项系数化为1 得x2－x＝－，
配方得x2－x＋＝－＋，
即＝，
∴x－＝±，解得x1＝1，x2＝；
(3)移项、系数化为1 得t2－3t＝－，
配方得t2－3t＋＝－＋，
即＝，
开方得t－＝±，
∴t1＝，t2＝.
(4)移项，得6x2－x＝12，
二次项系数化为1，得x2－＝2，
配方，得x2－＋＝2＋，
即＝，
∴x－＝±，
∴x1＝，x2＝－；
(5)系数化为1，得y2－2y＝2，
配方，得y2－2y＋1＝2＋1，即(y－1)2＝3，
∴y－1＝±；
∴y1＝1＋，y2＝1－；
(6)移项，得x2－2x＝－3，
配方，得x2－2x＋()2＝－3＋()2，
即(x－)2＝0，
∴x1＝x2＝；
(7)移项得x2－4x＝1，
配方得x2－4x＋22＝1＋22，
即(x－2)2＝5，
∴x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
9．当x 满足条件时，求出方程x2－2x－4＝0 的根．
解：由求得，
则2<x<4，
解方程x2－2x－4＝0 可得x1＝1＋，x2＝1－
2<<3，而2<x<4，
所以x＝1＋.
10．已知方程x2－6x＋q＝0 可以配方成(x－p)2＝7 的形式，那么x2－6x＋q＝2 可以配方成下
列的( B )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
【解析】 由x2－6x＋q＝0，得x2－6x＋9－9＋q＝0，即(x－3)2－9＋q＝0，∴(x－3)2＝9－q.∴q
＝2，p＝3.∴x2－6x＋q＝2 即为x2－6x＋2＝2，x2－6x＝0，x2－6x＋9＝9，(x－3)2＝9，即(x－p)2
＝9.故选B.
11．用配方法解方程：
(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．
解：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，
4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，x2－6x＝－8，
(x－3)2＝1，x－3＝±1，
x1＝2，x2＝4.
(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，
整理得：5x2＋85＝6x2＋12x，x2＋12x－85＝0，
x2＋12x＝85，x2＋12x＋36＝85＋36，
(x＋6)2＝121，
x＋6＝±11，
x1＝5，x2＝－17.
12．利用配方法比较代数式3x2＋4 与代数式2x2＋4x 值的大小．
解：∵(3x2＋4)－(2x2＋4x)
＝3x2＋4－2x2－4x
＝x2－4x＋4
＝(x－2)2≥0，
∴3x2＋4≥2x2＋4x.
13．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是 ＝ad－bc.例如： ＝1×4－2×3＝
－2， ＝(－2)×5－4×3＝－22.
(1)按照这个规定请你计算 的值；
(2)按照这个规定请你计算当x2－4x＋4＝0 时， 的值．
解：(1) ＝5×8－7×6＝－2；
(2)由x2－4x＋4＝0 得x＝2，
＝ ＝3×1－4×1＝－1.
14．已知关于x 的方程a(x＋m)2＋b＝0 的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b 均为常数，a≠0)，求关
于x 的方程a(x＋m＋2)2＋b＝0 的解．
解：x1＝－4，x2＝－1.
15．选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2；
②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2＋(2－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋)2－(4＋2)x；
③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2－x2.
根据上述材料，解决下面问题：
(1)写出x2－8x＋4 的两种不同形式的配方；
(2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值．
解：(1)x2－8x＋4
＝x2－8x＋16－16＋4
＝(x－4)2－12；
x2－8x＋4
＝(x－2)2＋4x－8x
＝(x－2)2－4x；
(2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，
(x＋)2＋(y－2)2＝0，
x＋＝0，y－2＝0，
x＝－1，y＝2，
则xy＝(－1)2＝1.
