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专题24.5 垂直于弦的直径-垂径定理（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段OM 的长
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
的直径
，
是
的弦，
，垂足为
，且
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
3．如图，
是
的直径，
垂直于弦
于点
，
的延长线交
于点
．
若
，
，则
的长是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
4．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC 于点D，AC＝4，则OD 的长
为（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯
的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯
底有水面AB 的宽度是（ ）cm.
A．6
B．
C．
D．
6．如图，AB 是半圆O 的直径，以弦AC 为折痕折叠
后，恰好经过点O，则
等于（ ）
A．120°
B．125°
C．130°
D．145°
7．在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，BC=6，AC=8，D、E 分别是AC、BC 上的一点，且
DE=6， 若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M、N，则MN 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知
的直径
弦于点
则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦
，垂足为E，那么下列结论中，错
误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC 中，
，点D 是AB 的中点，将△ACD 沿CD 对折得
△A′CD．连接
，连接AA′交CD 于点E，若
，
，则CE 的长为
（ ）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．7cm
11．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E．若AE＝
6，AB＝5，则BF 的长为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．12
12．已知⊙O 的半径为7，AB 是⊙O 的弦，点P 在弦AB 上．若PA＝4，PB＝6，则
OP＝（ ）
A．
B．4
C．
D．5
二、填空题
13．如图，CD 是⊙
的直径，AB 是弦，
，若
，
，则AC 的
长为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，
与
轴相切于原点
，平行于
轴的直线交
于
，
两点．若点
的坐标是
，则点
的坐标是__．
15．如图，
的直径AB 与弦CD 相交于点P，且
，若
，
则
的半径为______．
16．如图，AB，CD 是半径为15 的⊙O 的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN 是直径，
AB MN
⊥
于点E，CD MN
⊥
于点F，P 为EF 上任意一点，则PA＋PC 的最小值为_____．
17．如图，AB 是⊙C 的弦，直径MN⊥AB 于点O，MN=10，AB=8，如图以O 为原点建
立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC 长是_____，⊙C 上的整
数点有_______个．
18．如图，在⊙O 中，
，AD⊥OC 于点D，比较大小AB___________2AD．
（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
19．如图，⊙O 的半径为6，
的面积为18，点P 为弦AB 上一动点，当OP 长为
整数时，P 点有_____个．
20．如图，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5 的
与y 轴的正半轴交于点
，
过点
的直线l 与OB 相交于C、D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值是
___________．
21．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB
⊥
于点E，交圆O 于点D，OF AC
⊥
于点F，
BD=5，则OF=__________________________．
22．如图，已知
的半径为5，P 是直径AB 的延长线上一点，
，CD 是
的
一条弦，
，以PC，PD 为相邻两边作▱PCED，当C，D 点在圆周上运动时，线段
PE 长的最大值与最小值的积等于______．
23．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为
_______m．
三、解答题
24．如图，⊙O 的两条弦AB、CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，
ED=6，求⊙O 的半径长．
25．已知：如图，在⊙O 中，AB＝CD，AB 与CD 相交于点M，
(1) 求证：
；
(2) 求证：AM＝DM．
26．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
(1)如图1，
的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB 沿弦AB 折叠后恰好
过圆心
，求AB 长；
(2)如图2，
弦AB，垂足为点C，劣弧AB 沿弦AB 折叠后经过
的中点D，
，求
的半径．
27．如图，在扇形AOB 中，
，C、D 是
上两点，过点D 作
交
OB 于E 点，在OD 上取点F，使
，连接CF 并延长交OB 于G 点．
(1)求证：
；
(2)若C、D 是AB 的三等分点，
：
①求
；
②请比较GE 和BE 的大小．
28．【教材回顾】（1）如图①，点
、
分别是
的边
、边
的中点，连
结
，则
是
的一条中位线．则
和
的数量关系是____，位置关系是_____．
【提出问题】如图④，
是以
为直径的⊙
的一条弦，连结
、
，点
在
的上方，点
在
的下方，
于
，
于
，点
、
均在弦
上．
已知
，
，求
的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：
【分析问题】先看两种特殊情况：
（2）如图②，当点
与点
重合时，点
也与点
重合，点
与点
重合，此时
，
（点看成是长度为0 的线段），则
_____．（写出具体的数
值）
（3）如图③，当
时，
、
重合，此时
与
的数量关系是____，
先根据条件易求
的长度，则
____．（写出具体的数值）
【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求
的值．
参考答案
1．B
【分析】
由垂线段最短可知当OM⊥AB 时最短，当OM 是半径时最长．根据垂径定理求最短长
度．
解：如图，连接OA，作OM⊥AB 于M，
∵⊙O 的直径为10，
∴半径为5，
∴OM 的最大值为5，
∵OM⊥AB 于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM 中，
；
此时OM 最短，
所以OM 长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM 的最小值，所
以求OM 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构
造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条
弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（
^$^$）
2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以
求出另外一个．
2．C
【分析】
先画好一个圆，标上直径CD，已知AB 的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况
AB 与OD 相交，第二种情况AB 与OC 相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC 的长；
解：连接AC，AO，
∵圆O 的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=
AB=
×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C 点位置如图1 所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=
=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=
cm；
当C 点位置如图2 所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC 中，AC=
cm．
故选C．
【点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练
运用垂径定理是解决本题的关键．
3．C
【分析】
根据垂径定理求出OD 的长，再根据中位线求出BC=2OD 即可．
解：设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵
是
的直径，
垂直于弦
于点，
∴
∴OD 是△ABC 的中位线
∴BC=2OD
∵
∴
，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的
长是解题的关键．
4．C
【分析】
由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD 是△ABC 的中位线，则可求得
OD 的长．
解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝
AC＝2．
故选C．
【点拨】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数
形结合思想的应用．
5．C
【分析】
作OD AB
⊥
于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO 为半径，则
OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC 的长，即可求得AB 的长.
解：作OD AB
⊥
于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
OA=OD=4
∵
，CD=2，
OC=2
∴
，
AC=
∴
，
AB=2AC=
∴
.
故答案为C.
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形
是解答本题的关键.
6．A
【分析】
连接OC，BC，过O 作OE⊥AC 于D 交圆O 于E，根据折叠的性质得到OD=
OE，根
据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=
BC，求得
∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论．
解：如图，连接OC，BC，过O 作OE⊥AC 于D 交圆O 于E，
∵把半圆沿弦AC 折叠，
恰好经过点O，
∴OD=
OE，
∵AB 是半圆O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD=
BC，
∴BC=OE=OB=OC，
是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判
定，正确的添加辅助线是解题的关键．
7．A
【分析】
由题意可知，C、O、G 三点在一条直线上OG 最小，MN 最大，再由勾股定理求得
AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN 的最大值．
解：如图，过O 作OG⊥AB 于G，连接OC、OM，
∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC＝
DE＝3，
∵OM＝3，
∴只有OG 最小，GM 才能最大，从而MN 有最大值，
∴只有C、O、G 三点在一条直线上OG 最小，
过C 作CF⊥AB 于F，
∴G 和F 重合时，MN 有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝
＝10，
∵
AC•BC＝
AB•CF，
∴CF＝
，
∴OG＝CF−OC＝
，
∴MG＝
＝
，
∴MN＝2MG＝
故选:A
【点拨】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得
出C、O、G 三点在一条直线上OG 最小是解题的关键．
8．B
【分析】
根据垂径定理得出
，由此可判断A，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即
可证明
，进而可判断C、D，而AE 与OE 不一定相等，由此可判断B．
解：∵
的直径
于点，
∴
，故A 选项结论成立；
在
和
中，
，
∴
，故D 选项结论正确；
∴
，故C 选项结论正确；
而AE 与OE 不一定相等，故B 选项结论不成立；
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧．
9．D
【分析】
根据垂径定理逐个判断即可．
解：AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 垂足为E，
则AB 是垂直于弦CD 的直径，就满足垂径定理．
因而CE＝DE，
，∠BAC＝∠BAD 都是正确的．
根据条件可以得到AB 是CD 的垂直平分线，因而AC＝AD．所以D 是错误的．
故选：D．
【点拨】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．
10．B
【分析】
由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得
CD=AD=BD= A′D，可证得A、C、A′、B 共圆且AB 为直径，利用垂径定理的推论和三角形
的中位线性质证得DE=
A′B，进而可求解CE 的长．
解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，
∵
，点D 是AB 的中点，
∴CD=AD=BD= A′D=
AB，
∴A、C、A′、B 共圆且AB 为直径，又A A′⊥CD，
∴AE= A′E，又AD=BD，
∴DE 是△AB A′的中位线，
∴DE=
A′B，
∵
，
，
∴CD=7cm，DE=2cm，
∴CE=CD-DE=7-2=5cm，
故选B．
【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、
垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
11．C
【分析】
设
交
于点
，根据题意可得四边形
为菱形，勾股定理求得
的长度，即
可求解．
解：设
交
于点
，如下图：
由题意可得：
，
平分
，
，
∴
垂直平分
，
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
又∵
，
∴平行四边形
为菱形，
∴
，
由勾股定理得，
，
∴
，
故选：C．
【点拨】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，垂径定理以及勾股定理，
解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
12．D
【分析】
连接
，过点
作
于点
，如图所示，先利用垂径定理求得
，然后在
中求得
，再在
中，利用勾股定理
即可求解．
解：连接
，过点
作
于点
，如图所示，
则
，
，
∵PA＝4，PB＝6，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
在
中，
，
故选：D
【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
13．
【分析】
根据垂径定理求出AE=BE=6，根据勾股定理求出OE，求出CE，再根据勾股定理求出
AC 即可．
解：设AB 和CD 交于E，
∵CD⊥AB，CD 过圆心O，AB=12，
∴AE=BE=6，∠OEB=∠CEA=90°，
由勾股定理得：
，
∴CE=OC+OE=10+8=18，
由勾股定理得：
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条
弦是解此题的关键．
14．
【分析】
首先过点P 作PA⊥MN 于点A，由垂径定理即可求得AM＝
MN，易证得四边形ABOP
是矩形，即可得AB＝OP，PA＝OB＝2，设OP＝a，在Rt△PAM 中，由PM2＝AM2+PA2，可
得方程a2＝（a
1
﹣）
2+4，继而可求得答案．
解：如图，过点
作
于点
，
∴
，
在平面直角坐标系中，
与轴相切于原点
，平行于
轴的直线交
于
，
两点，设MN 交x 轴于点B，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
设
，
则
，
∵点
的坐标是
，
∴
＝1，
∴
，
在
中，
，
即
，
解得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
的坐标为：
．
故答案为：
．
【点拨】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理．此题难度适中，注意
掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
15．4
【分析】
过点
作
连接
根据垂径定理可得
根据
得到
对式子
进行变换，即可求出半径.
解：设
的半径为R
过点
作
连接
∴
解得：
故答案为：4
【点拨】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子
进行
变形是解题的关键.
16．
【分析】
由于A、B 两点关于MN 对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P 在一条直线上
时，PA＋PC 的值最小，即BC 的值就是PA＋PC 的最小值．
解：连接BC，OB，OC，作CH 垂直于AB 于H．
AB
∵
＝24，CD＝18，MN 是直径，AB MN
⊥
于点E，CD MN
⊥
于点F，
BE
∴
＝
AB＝12，CF＝
CD＝9，
∴
，
，
CH
∴
＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt
BCH
△
中，根据勾股定理得：
，
即PA＋PC 的最小值为
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解
题关键．
17． 3 12
【分析】
过C 作直径UL∥x 轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出
OC，再得出答案即可．
解：过C 作直径UL∥x 轴，
连接CA，则AC=
×10=5，
∵MN 过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO=
=3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR 都平行于x 轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），
U（-5，3），L（5，3），
即共12 个点，
故答案为：3；12．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所
有点是解此题的关键．
18．=
【分析】
过点
作
于点
，交
于点
，根据
解：如图，过点
作
于点
，交
于点
，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：
【点拨】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握
垂径定理是解题的关键．
19．4
【分析】
过点P 最长的弦是12，根据已知条件，△OAB 的面积为18，可以求出AB＜12，根据
三角形面积可得OC=3
，从而可知OP 的长有两个整数：5，6，且OP=6 是P 在A 或B
点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4 个．
解：过O 作OC AB
⊥
于C，则AC＝BC，
设OC＝x，AC＝y，
AB
∵
是⊙O 的一条弦，⊙O 的半径为6，
AB≤12
∴
，
OAB
∵△
的面积为18，
∴
，
则y＝
，
∴
，
解得x＝3
或﹣3
（舍），
OC
∴
＝3
＞4，
4
∴＜OP≤6，
∵点P 为弦AB 上一动点，当OP 长为整数时，OP＝5 或6，
则P 点有4 个．
故答案为：4
【点拨】此题考查了圆的有关概念，三角形的面积，解决本题的关键是确定OP 的最
小值和最大值．
20．8，9，10．
【分析】
当CD 为直径时，此时CD 最长，为10；当CD 过P 点且垂直y 轴时，CD 为P 点的最
短弦，由点A（0，1），BA＝5，得到B 点坐标为（0，−4），再由P 点坐标为
（0，−7），得到BP＝3，由BP CD
⊥
，根据垂径定理得PC＝PD，然后在Rt
PBC
△
中，根
据勾股定理得到PC＝4，所以CD＝8，即过P 点的最短弦长为8，最长的弦长为10，故可
求解．
解：当CD 过圆心B 时，此时CD 为直径，CD＝10；
当CD 过P 点且垂直y 轴时，CD 为P 点的最短弦，如图，
∵点A（0，1），BA＝5，
B
∴
点坐标为（0，−4），
P
∵点坐标为（0，−7），
BP
∴
＝−4−（−7）＝3，
BP
CD
∵
⊥
，
PC
∴
＝PD，
在Rt
PBC
△
中，BC＝5，BP＝3，
PC
∴
＝
＝4，
CD
∴
＝2PC＝8，
∵过P 点的最短弦长为8，最长的弦长为10，
∴过P 点的弦长为整数还有9，
∴弦CD 长的所有可能的整数值有8，9，10．
故答案为：8，9，10．
【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和勾股定理；同时掌握图形与坐
标的关系．
21．
【分析】
利用垂径定理可得
，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得
BC=2OF，即可解决问题．
解：∵直径AB⊥弦CD，
∴
，
BD=BC=5
∴
，
OF
AC
∵
⊥
，
AF=FC
∴
，
OA=OB
∵
，
OF
∴
是三角形ABC 的中位线 ,
2OF=
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这
条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
22．80.
【分析】
连接OC．设CD 交PE 于点K，连接OK．根据垂径定理的推论可得
，根据
勾股定理求出OK，然后得出OP 的值，利用三角形的三边关系即可解决问题．
解：连接
设CD 交PE 于点K，连接OK．
四边形PCED 是平行四边形，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
的最小值为2，最大值为10，
，
的最小值为4，最大值为20，
线段PE 长的最大值与最小值的积等于80．
故答案为80．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系
等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．12.5
【分析】
根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在
所在的直线上，设圆心是
，半径
为
，连接
．根据垂径定理得
，再由勾股定理求解即可．
解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在
所在的直线上，
设圆心是
，半径是
，连接
．
根据垂径定理，得：
，
在
中，根据勾股定理，得
，
解得：
，
即该拱桥的半径为
，
故答案为：12.5．
【点拨】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径
定理，由勾股定理得出方程进行求解．
24．
【分析】
过点
分别作
、
的垂线
、
，则四边形
是正方形，利用垂径定理
即可求得
，
的长度，然后在直角
中利用勾股定理即可求得
的长度．
解：过点
分别作
、
的垂线
、
，则四边形
是矩形，连接
．
，
，
，
矩形
是正方形．
，
，
，
，
，
同理：
．
在直角
中，
．
的半径长为
．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长
以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．
25．(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）由在⊙O 中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得
，继而可证得
；
（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM．
解：(1)∵在⊙O 中，AB＝CD，
∴
，
∴
，
∴
；
(2)连接AC，BD，
∵
，
∴AC＝BD，
在△ACM 和△DBM 中，
，
∴△ACM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM．
【点拨】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意
掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．(1)
cm(2)
cm
【分析】
（1）如图1，作
交
于
，交
于
，连接
，由题意知，
，
，在
中，由勾股定理得
求出
的值，进而可求
的值；
（2）如图2，延长
交
于
，连接
，设半径为，由题意知
，由折叠和中点的性质可知
，在
中，
由勾股定理得
，即
，求出满足要求的解即可．
(1)解：如图1，作
交
于
，交
于
，连接
由题意知，
，
在
中，由勾股定理得
∴
∴
的长为
．
(2)解：如图2，延长
交
于
，连接
，设半径为
由题意知
，由折叠和中点的性质可知
，
在
中，由勾股定理得
，即
解得：
，
（不合题意，舍去）
∴半径的长为
．
【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知
识的熟练掌握与灵活运用．
27．(1)证明见分析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE
【分析】
（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS 证△OCF≌△DOE 即可；
（2）①先由C、D 是
的三等分点，∠AOB=90°，求得
∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由
三角形内角和求解；
②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得
，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以
OE=CF=OF=2，即可求得
，
，再比较即可得出结论；
(1)解：∵DE
OC，
∴∠COD=∠ODE，
∵OC=OD，OF=DE，
∴△OCF≌△DOE(SAS)；
(2)解：①∵C、D 是
的三等分点，∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF=∠DOE=30°，
∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，
∴∠OGC=90°．
②∵
，
∴
，
又∵∠DOE=30°，
∴OF=2，
∵∠OCF=∠COF=30°，
∴CF=OF，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE=CF=OF=2，
∴
，
，
∵
，
∴BE＞GE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直
角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解
题词的关键．
28．（1）
；
；（2）
；（3）
；
；（4）
【分析】
（1）直接用中位线性质定理得出结论；
（2）由等边三角形判定得出△
为等边三角形，得到
，即可得
到答案；
（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到
，即
，计算即可得知答案；
（4）过圆O 作直径CD⊥AB 交于点E，连接PM 与CD 交于点F，由中位线定理得出
OF 是△MNP 的中位线，EF 是△PNQ 的中位线，得到
，
，即
，计算即可得出答案．
解：（1）∵点
、
分别是
的边
、边
的中点，
∴
是
的一条中位线，
∴
，
，
故答案为：
，
．
（2）∵MN 为直径，O 为圆心，当点
与点
重合时，点
也与点
重合，点
与点
重合，
∴∠MAB＝90°，O 为MN 的中点，
∴在Rt△MAB 中，
，
，
∴
，
∴
，
∴△
为等边三角形，
∵
∴
，
，
∴
，
故答案为：
（3）当
时，
、
重合，
∵
，
∴在Rt△AOP 中，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
；
．
（4）∵
于
，
于
，
∴过圆O 作直径CD⊥AB 交于点E，连接PN 与CD 交于点F，如图：
∴点O 为MN 的中点，
，
∴点F 为PN 的中点，点E 为PQ 的中点，
∴在△MNP 中，OF 是△MNP 的中位线，
∴
，
在△PNQ 中，EF 是△PNQ 的中位线，
∴
，
∴
，
∵在Rt△AOE 中，
，
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边
的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．
