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实际问题与一元二次方程
第1 课时 变化率问题与一元二次方程 [见B 本P8]
1．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困
难学生398 元，今年上半年发放了438 元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下
面列出的方程中正确的是( B )
A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438
C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
2．某机械厂七月份生产零件50 万个，第三季度生产零件196 万个．设该厂八、九月份平均每
月的增长率为x，那么x 满足的方程是( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
3．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，主干、分支、小分支
的总数为241，求每个分支长出多少个小分支？若设主干有x 个分支，依题意列方程正确的
是( B )
A．1＋x＋x(x＋1)＝241
B．1＋x＋x2＝241
C．1＋(x＋1)＋(x＋1)2＝241
D．1＋(x＋1)＋x2＝241
【解析】 植物有1 个主干，1 个主干有x 个分支，x 个分支有x2个小分支，依据题意，得1＋x＋
x2＝241.
4．在一个QQ 群里有n 个网友在线，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有20 条信息，
则n 为( C )
A．10 B．6 C．5 D．4
【解析】 依题意，得n(n－1)＝20，解得n＝5 或n＝－4(舍去)．
5．[2013·哈尔滨]某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125 元降到80 元，则平均每次
降价的百分率为__20%__.
6．某人将2 000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000 元用作购物，剩下的1 000
元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1
320 元(均不计利息税)，设这种存款方式的年利率为x，则可列方程为__[2__000(1
＋
x ) －
1__000](1
＋
x ) ＝
1 __320__．
7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人．
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64
解之，得x1＝7，x2＝－9，(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了7 个人．
(2)7×64＝448.
答：又有448 人被传染．
8．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第
一天收到捐款10 000 元，第三天收到捐款12 100 元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100
解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)
答：捐款的增长率为10%.
(2)12 100×(1＋10%)＝13 310
答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13 310 元．
9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5 元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大
种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2
元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200 元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝
1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8 不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝
20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，
方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．
∵14 400 元<15 000 元，
∴小华选择方案一购买更优惠．
10．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超
过10 件，单价为80 元；如果一次性购买多于10 件，那么每增加1 件，购买的所有服装的单价
降低2 元，但单价不得低于50 元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200 元，请
问她购买了多少件这种服装？
解：因为80×10＝800 元＜1 200 元，所以小丽买的服装数大于10 件．
设她购买了x 件这种服装．
根据题意得 x[80－2(x－10)]＝1 200.
解得x1＝20，x2＝30.
因为1 200÷50＝24＜30.
所以x2＝30 不合题意，舍去．
答：她购买了20 件这种服装．
11．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40 元，按每千克60 元出售，平均每天可售出
100 千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2 元，则平均每天的销售量可增加20 千克．若
该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240 元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折
出售？
【解析】 (1)设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润＝2 240 元列出方程求解即可；
(2)为了让利于顾客因此应降价6 元，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．
解：(1)设每千克核桃应降价x 元，根据题意，得
(60－x－40)＝2 240，
化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.
答：每千克核桃应降价4 元或6 元．
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4 元或6 元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降
价6 元，此时，售价为60－6＝54(元)，×100%＝90%.
答：该店应按原售价的九折出售．
12．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车
销售量自2013 年起逐月增加，据统计，该商城1 月份销售自行车64 辆，3 月份销售了100 辆．
(1)若该商城前4 个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4 月份卖出多少辆自行车？
(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知
A 型车的进价为500 元/辆，售价为700 元/辆，B 型车的进价为1 000 元/辆，售价为1 300
元/辆。根据销售经验，A 型车的销量不少于B 型车的2 倍，但不超过B 型车的2.8 倍。假设所
进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
解：(1)设平均增长率为x，根据题意得：
64(1＋x)2＝100，解得：x＝0.25＝25%或x＝－2.25(不合题意，舍去)
四月份的销量为：100(1＋25%)＝125 辆，
答：四月份的销量为125 辆．
(2)设购进A 型车x 辆，根据题意得：
2×≤x≤2.8×，解得：30≤x≤35，
∵B 型车的利润大于A 型车的利润，
∴当A 型车进货量最小时有最大利润，此时B 型车进货量为15.
即要获得最大利润，应进A 型车30 辆，B 型车15 辆．
第2 课时 几何图形与一元二次方程[见A 本P10]
1．小明要在一幅长90 cm，宽40 cm 的风景画的四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一
幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽度为x cm，根据题意列方
程为( B )
A．(90＋x)(40＋x)×54%＝90×40
B．(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40
C．(90＋x)(40＋2x)×54%＝90×40
D．(90＋2x)(40＋x)×54%＝90×40
2．兰州市某广场准备修建一个面积为200 平方米的矩形草坪，它的长比宽多10 米，设草坪的
宽为x 米，则可列方程为( D )
A．x(x－10)＝200
B．2x＋2(x－10)＝200
C．2x＋2(x＋10)＝200
D．x(x＋10)＝200
【解析】 ∵草坪的长比宽多10 米，草坪的宽为x 米，∴草坪的长为(x＋10)米．∵草坪的面积
为200 平方米，∴可列方程为x(x＋10)＝200.
3．已知两个连续奇数的积为143，则这两个数为( C )
A．－13 和－11 B．11 和13
C．11，13 或－13，－11 D．以上都不对
【解析】 可设两个连续奇数分别为2n－1，2n＋1.
4．已知一个两位数等于它的个位数的平方，并且十位上的数比个位上的数小3，则这个两位
数是( B )
A．25 B．25 或36
C．36 D．－25 或－36
5．图21－3－1 是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3 个位置相邻的9 个
数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9 个数中，最大数与最小数的积为192，则这9
个数的和为( D )
图21－3－1
A．32 B．126 C．135 D．144
6．若长方形的面积为150 cm2，并且长比宽多5 cm，则长方形的长为__15__cm，宽为
__10__cm.
7．已知如图21－3－2 所示的图形的面积为24.根据图中的条件，可列出方程：__答案不
唯一
，
如
( x ＋
1)
2 ＝
25
__．
图21－3－2
8．从一块正方形钢板上截去3 cm 宽的长方形钢条，剩下的面积是54 cm2，则原来这块钢板
的面积是__81__cm2.
【解析】 设正方形钢板边长为x cm，则有x(x－3)＝54，解得x1＝9，x2＝－6(舍去)，所以正方
形钢板面积为81 cm2.
9．在一幅长8 dm，宽6 dm 的矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，
如果要使整个挂图的面积是80 dm2，求金色纸边的宽．
解：设金色纸边的宽为x dm，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80，解得x1＝1，x2＝－8(不合题意，
舍去)．
答：金色纸边的宽为1 dm.
图21－3－3
10．如图21－3－3，某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用
木栏围成，木栏长40 m.
(1)鸡场的面积能达到180 m2吗？
(2)鸡场的面积能达到200 m2吗？
(3)鸡场的面积能达到250 m2吗？
解：(1)设鸡场靠墙一边长为x m，则另两边的长均为 m，根据题意，得x·＝180，
解得x1＝20＋2，x2＝20－2.∵x1＝20＋2>25，即比墙长，∴x1＝20＋2 不满足题意，舍去，而0
＜x2＝20－2＜25，满足题意，
∴鸡场的面积可达到180 m2.设计的方案是靠墙的一边长为(20－2 )m，另外的两边长都为(10
＋)m 的矩形．
(2)同理可得x·＝200，解得x1＝x2＝20.
∵x＝20 满足题意，∴鸡场的面积可达到200 m2.
设计的方案是靠墙的一边长为20 m，另两边长都为10 m 的矩形．
(3)鸡场的面积不能达到250 m2.
∵若鸡场的面积为250 m2，
则可列方程x·＝250，
整理，得x2－40x＋500＝0，
配方，得(x－20)2＝－100，
由于负数不能开平方，
∴方程x2－40x＋500＝0 无实数根，
∴鸡场的面积不能达到250 m2.
11．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一
个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2”，他的说法对吗？请说明
理由．
解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.
由题意得x2 ＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.
4×3＝12，4×7＝28.
所以小林应把绳子剪成 12 cm 和28 cm 的两段．
(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.
因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．
所以小峰的说法是对的．
12．把一张边长为40 cm 的正方形硬纸板进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度
忽略不计)．
(1)如图21－3－4，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成
一个无盖的长方体盒子．
图21－3－4
要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边
上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，
求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．
解：(1)设剪掉的正方形的边长为x cm，则(40－2x)2＝484，即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合
题意，舍去)，x2＝9，∴剪掉的正方形的边长为9 cm.
(2)如答图所示的一种裁剪方法，设长方体盒子的高为x cm，2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋
2x(40－2x)＝550，解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15，∴长方体盒子的高为15 cm，
此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.
13．要在一块长16 m，宽12 m 的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积为荒地面积
的一半，如图21－3－5 分别是小明和小颖的设计方案．
(1)你认为小明的结果对吗？为什么？
(2)你能帮小颖求出图中的x 吗？
图21－3－5
【解析】 (1)按小明的思路列方程求解，考查小路的宽能否为12 m；(2)按小颖的思路列方程求
解．
解：(1)小明的结果不正确．
设小路的宽为x m，依题意，
有(16－2x)(12－2x)＝×16×12，
整理，得x2－14x＋24＝0，解得x1＝2，x2＝12.
因为荒地的宽为12 m，若小路的宽为12 m，则不符合实际情况，故x2＝12 不合题意，舍去，
所以x＝2，即小路的宽为2 m.
(2)由题意知4 个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积，由其半径为x m，根据题意有πx2＝
×12×16，即x2＝，所以x≈±5.5.
因为x>0，所以x＝－5.5 不合题意，舍去，所以x＝5.5，
所以小颖的设计方案中扇形的半径为5.5 m.
