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二次函数
22.1__二次函数的图象和性质__
22．1.1 二次函数 [见B 本P12]
1．下列函数是二次函数的是( C )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝x－2
2．二次函数y＝3x2－2x－4 的二次项系数与常数项的和是( B )
A．1 B．－1 C．7 D．－6
3．自由落体公式h＝gt2(g 为常量)中，h 与t 之间的关系是( C )
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
4．已知二次函数y＝3(x－2)2＋1，当x＝3 时，y 的值为( A )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
5．如图22－1－1 所示，在直径为20 cm 的圆形铁片中，挖去了四个半径都为x cm 的圆，剩
余部分的面积为y cm2，则y 与x 间的函数关系式为( C )
图22－1－1
A．y＝400π－4πx2
B．y＝100π－2πx2
C．y＝100π－4πx2
D．y＝200π－2πx2
【解析】 S 剩余＝S 大圆－4S 小圆＝π·－4πx2＝100π－4πx2，故选C.
6．二次函数y＝2x(x－3)的二次项系数与一次项系数的和为( D )
A．2 B．－2 C．－1 D．－4
【解析】 y＝2x(x－3)＝2x2－6x，所以二次项系数与一次项系数的和＝2＋(－6)＝－4，故选D.
7．下列函数关系式，可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( D )
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【解析】 A 中，圆的周长C 与圆的半径r 是一次函数C＝2πr；B 中，若我国原有人口为a，x 年
后人口数为y＝a(1＋1%) x也不属于二次函数；C 中距离一定，速度与时间为反比例函数；只
有D 中表面积S 与棱长a 的关系为S＝6a2，符合二次函数关系式．
8．二次函数y＝ax2中，当x＝－1 时，y＝8，则a＝__8__．
【解析】 将x＝－1，y＝8 代入y＝ax2中，解得a＝8.
图22－1－2
9．如图22－1－2 所示，长方体的底面是边长为x cm 的正方形，高为6 cm，请你用含x 的代数
式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝__24
x __，长方体的体积为V＝__6 x 2 __，各边长的
和L＝__8 x ＋
24
__，在上面的三个函数中，__V ＝
6 x 2 __是关于x 的二次函数．
【解析】 长方体的侧面展开图的面积S＝4x×6＝24x；长方体的体积为V＝x2×6＝6x2；各边长
的和L＝4x×2＋6×4＝8x＋24，其中，V＝6x2是关于x 的二次函数．
10．若y＝xm是关于x 的二次函数，则()2＝__2__013__．
【解析】 由y＝xm是关于x 的二次函数，得m＝2，所以()2＝()2＝2 013.
11．已知函数y＝(a＋2)x2＋x－3 是关于x 的二次函数，则常数a 的取值范围是__a ≠
－
2 __．
【解析】 ∵二次函数中，二次项系数不能为0，∴a＋2≠0，即a≠－2.
12．已知函数y＝(k2－4)x2＋(k＋2)x＋3，
(1)当k__≠
±2
__时，它是二次函数；
(2)当k__＝
2 __时，它是一次函数．
【解析】 根据一次函数、二次函数定义求解．
(1)k2－4≠0，即k≠±2 时，它是二次函数．
(2)∵ ∴ ∴k＝2.
13．把8 米长的钢筋，焊成一个如图22－1－3 所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．
请你写出钢筋所焊成框架的面积y(平方米)与半圆的半径x(米)之间的函数关系式．
图22－1－3
解：半圆面积：πx2，
矩形面积：2x××(8－2x－πx)
＝8x－(2＋π)x2，
∴y＝πx2＋8x－(2＋π)x2，
即y＝－x2＋8x.
14．若y＝(m－1)xm2＋1＋mx＋3 是二次函数，则m 的值是( B )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
【解析】 根据题意得解得∴m＝－1，故选B.
15．如果函数y＝(m－3)xm2－3m＋2＋mx＋1 是二次函数，求m.
解：依题意得解得m＝0.
16．如图22－1－4，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20
cm，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以2 cm/s 的速度向左运动，
最终点A 与点M 重合，求(1)重叠部分的面积y (cm2)与时间t(s)之间的函数关系式和自变量
的取值范围．(2)当t＝1，t＝2 时，重叠部分的面积．
图22－1－4
解：(1)∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴重叠部分也是等腰直角三角形，
又∵AN＝2t，
∴AM＝MN－AN＝20－2t，
∴MH＝AM＝20－2t，
∴重叠部分的面积为y＝(20－2t)2＝2t2－40t＋200.
所以自变量的取值范围为0≤t≤10.
(2)当t＝1 时，y＝162(cm2)
当t＝2 时，y＝128(cm2)．
17．如图22－1－5，小亮家去年建了一个周长为80 m 的矩形养鱼池．
(1)如果设矩形的一边长为x m，那么另一边的长为________m；
(2)如果设矩形的面积为y m2，那么用x 表示y 的表达式为y＝________，化简后为y＝
________；
(3)根据上面得到的表达式填写下表：
x
5
10
15
20
25
30
35
y
(4)请指出上表中边长x 为何值时，矩形的面积y 最大．
图22－1－5
【解析】 S 矩形＝长×宽，(1)另一边长为(80－2x)＝(40－x)m.
解：(1)40－x.
(2)x(40－x)，－x2＋40x.
(3)175，300，375，400，375，300，175.
(4)当x＝20 时，y 最大为400 m2.
18．如图22－1－6，四边形ABCD 中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD 的长
为x，四边形ABCD 的面积为y，求y 与x 之间的函数关系式．
图22－1－6
第18 题答图
解：如图，把△ABC 绕A 逆时针旋转90°到△ADE，则BC＝DE，AC＝AE.
设BC＝k，则AC＝AE＝4k，DE＝k，
过D 作DF⊥AC 于F，则AF＝DE＝k，
CF＝3k，DF＝4k，
由勾股定理得CF2＋DF2＝CD2，
∴(3k)2＋(4k)2＝x2，
∴x2＝25k2，∴k2＝.
y＝S 四边形ABCD＝S 梯形ACDE
＝(DE＋AC)·AE＝(k＋4k)·4k
＝10k2＝10×＝x2，
故y 与x 之间的函数关系式为y＝x2.
