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与垂径定理有关的辅助线
一 连半径构造直角三角形
(教材P83 练习第1 题)
如图1，在⊙O 中，弦AB 的长为8 cm，圆心O 到AB 的距离为3 cm，求⊙O 的半径．
图1
变形1 答图
解：作OE⊥AB 于E，连接OA，则AE＝AB＝×8＝4(cm)，OE＝3 cm，∴OA＝＝＝5(cm)．
【思想方法】 求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角
三角形进行求解．
如图2，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O 的直径为(
D )
A．8 B．10 C．16 D．20
【解析】 如图，连接OC，根据题意，得CE＝CD＝6，BE＝2.在Rt△OEC 中，设OC＝x，则OE
＝x－2，
故(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20.
图2
图3
“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，
不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图
3 所示，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1 寸，AB＝1 尺，求直径CD 长是多少
寸．”(注：1 尺＝10 寸)
解：∵AB⊥CD，∴AE＝BE.∵AB＝10，∴AE＝5.
在Rt△AOE 中，∵OA2＝OE2＋AE2，∴OA2＝(OA－1)2＋52，∴OA＝13，∴CD＝2OA＝26(寸)．
二 作弦心距巧解题
(教材P90 习题24.1 第10 题)
⊙O 的半径为13 cm，AB，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB 和
CD 的距离．
解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知CD＝10 cm，
∴DE＝5 cm.∵OD＝13 cm，∴利用勾股定理可得OE＝12 cm.同理可求OF＝5 cm，∴EF＝7
cm.
第二种情况：EF＝OE＋OF＝17 cm.
【思想方法】 已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理
求解是常用方法．
如图4，⊙O 的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O 位于AB，
CD 的上方，求AB 和CD 的距离．
图4
变形1 答图
解：如图，过点O 作OE⊥AB，交CD 于F，连接OA，∵AB∥CD，∴OF⊥CD.
在Rt△OAE 中，∵OA＝17，AE＝BE＝AB＝15，∴OE＝8，同理可求OF＝15.
∵圆心O 位于AB，CD 的上方，
∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)，
即AB 和CD 的距离是7 cm.
如图5 所示，若⊙O 的半径为13 cm，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离
为5 cm，则弦AB 的长为__24__cm.
【解析】 点P 到圆心的最短距离即点O 到弦AB 的垂线段的长度，当点P 是AB 中点时，连接
OA，则AB＝2AP＝2＝2＝2×12＝24(cm)．
图5
图6
如图6，在半径为5 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD
＝8，则OP 的长为( C )
A．3 B．4 C．3 D．4
【解析】 如图，作OM⊥AB 于M，ON⊥CD 于N，连接OB，OD.
由垂径定理、勾股定理，得
OM＝ON＝＝3.
∵弦AB，CD 互相垂直，
∴∠DPB＝90°.
∵OM⊥AB 于M，ON⊥CD 于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP 是正方形，∴OP＝3，故选C.
把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图7 所示，已知EF＝CD
＝16 cm，则球的半径为__10__cm.
图7
变形4 答图
【解析】 取EF 的中点M，作MN⊥AD 于点M，取弧EF 所在圆的圆心为O，连接OF.
设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8，
在直角三角形OMF 中，OM2＋MF2＝OF2，
即(16－x)2＋82＝x2，解得x＝10.
当宽为3 cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图8
所示(单位：cm)，那么该圆的半径为____cm.
图8
【解析】 连接OA，过点O 作OD⊥AB 于点D，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝(9－1)＝4.设OA＝r，
则OD＝r－3，在Rt△OAD 中，OA2－OD2＝AD2，即r2－(r－3)2＝42，解得r＝ cm.
如图9 所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1
m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在圆O 的半径．
图9
解：由垂径定理得BF＝AB＝1.5，OE⊥AB，设圆O 半径为x，则OF＝x－1，在Rt△OBF 中，根
据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即圆O 的半径是1.625 m.
某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，过O 作OC⊥AB 于D，交
圆弧于C，CD＝2.4 m(如图10 所示)．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m的
货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
图10
解：如图，连接ON，OB，且设DE 为船舱的高．
∵OC⊥AB，∴D 为AB 中点．
∵AB＝7.2 m，∴BD＝AB＝3.6 m．又CD＝2.4 m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD 中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9 m.
∵CD＝2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4 (m)，
∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5 (m)．
在Rt△OEN 中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝，
∴MN＝2EN＝2×≈3.44(m)＞3(m)，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图11 所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱
顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽
MN＝32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
图11
解：不需要采取紧急措施．理由如下：
设OA＝R，在Rt△AOC 中，AC＝30，OC＝R－18，
∴R2＝302＋(R－18)2
解得R＝34(m)．
如图，连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE 中，ME＝16，
∴342＝162＋(34－x)2，
即x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE＝4. 4
∵m＞3.5 m，∴不需采取紧急措施．
