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有关切线的辅助线作法
一 切线的性质
(教材P101 习题24.2 第5 题)
如图1，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，求证：AP
＝BP.
证明：连接OP.∵AB 是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理得AP＝BP.
图1
图2
【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅
助线作法．
如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦
AB 的长为( C )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
如图3，已知点O 为Rt△ABC 斜边AC 上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O
与BC 相切于点E，与AC 相交于点D，连接AE.
(1)求证：AE 平分∠CAB；
(2)探求图中∠1 与∠C 的数量关系，并求当AE＝EC 时∠C 的值．
图3
变形2 答图
解：(1)证明：如图，连接OE，∵BC 是⊙O 的切线，且切点为E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又
∵△ABC 是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠BAE＝∠OEA.∵OA
＝OE，∴∠1＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠1，∴AE 平分∠CAB.
(2)∵△ABC 是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°.∵AE 平分∠CAB，∴∠BAC＝2 1
∠，∴2∠1＋
∠C＝90°，即∠1＝(90°－∠C)．当AE＝EC 时，∠1＝∠C，则2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°.
图4
如图4，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T，过点T 作
AD 的延长线于点C.
(1)求证：CT 为⊙O 的切线；
(2)若⊙O 半径为2，CT＝，求AD 的长．
解：(1)证明：连接OT
∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA
又∵AT 平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT
∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC
又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT
∴CT 为⊙O 的切线．
(2)解：过O 作OE⊥AD 于E，则E 为AD 中点
又∵CT⊥AC，∴OE∥CT
∴四边形OTCE 为矩形
∵CT＝，∴OE＝
又∵OA＝2
∴在Rt△OAE 中，AE＝＝＝1
∴AD＝2AE＝2.
二 切线的判定
(教材P101 习题24.2 第4 题)
如图5，直线AB 经过⊙O 上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB 是⊙O 的切线．
证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB 是等腰三角形，OC 是底边AB 上的中线．
∴OC⊥AB.
∴AB 是⊙O 的切线．
图5
【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该
点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆
有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．
注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．
如图6，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的圆O 经过点D，E 是⊙O 上一
点，且∠AED＝45°.判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
图6
解：CD 与⊙O 相切．理由如下：
连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠CDO＝∠AOD＝90°.又∵OD 是⊙O 的半径，CD 经过点D，
∴CD 是⊙O 的切线．
[2012·温州]如图7，△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是边AB 上的一点，且∠A＝
2∠DCB.E 是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D.
(1)求证：AB 是⊙O 的切线；
(2)若CD 的弦心距为1，BE＝EO，求BD 的长．
图7
变形2 答图
解：(1)证明：如图，连接OD，∵∠DOB＝2∠DCB，
又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB.
又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB 是⊙O 的切线．
(2)解法一：如图，过点O 作OM⊥CD 于点M，
∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠DCB＝30°，
∴OC＝2OM＝2，∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2.
解法二：如图，过点O 作OM⊥CD 于点M，连接DE，
∵OM⊥CD，∴CM＝DM.
又∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2.
∵Rt△BDO 中，OE＝BE，∴DE＝BO，
∴BO＝4，∴OD＝OE＝2，∴BD＝2.
图8
如图8，已知⊙O 的半径为1，DE 是⊙O 的直径，过D 作⊙O 的切线，C 是AD 的中
点，AE 交⊙O 于B 点，四边形BCOE 是平行四边形．
(1)求AD 的长；
(2)BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°.
∵四边形BCOE 是平行四边形，
∴BC∥OE，BC＝OE＝1.
在Rt△ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC＝AD＝1.
∴AD＝2.
(2)连接OB，由(1)得
BC∥OD，且BC＝OD.
∴四边形BCDO 是平行四边形．
又∵AD 是⊙O 的切线，
∴OD⊥AD.
∴四边形BCDO 是矩形．
∴OB⊥BC，
∴BC 是⊙O 的切线．
图9
如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E，过点C
作DA 的平行线与AF 相交于点F，CD＝4，BE＝2.
求证：(1)四边形FADC 是菱形；
(2)FC 是⊙O 的切线．
解：(1)
连接OC，
依题意知：AF⊥AB，又CD⊥AB，
∴AF∥CD，又CF∥AD，
∴四边形FADC 是平行四边形，
由垂径定理得：CE＝ED＝CD＝2，
设⊙O 的半径为R，则OC＝R，OE＝OB－BE＝R－2，在△ECO 中，由勾股定理得：R2＝(R－
2)2＋(2)2，解得：R＝4，
∴AD＝＝＝4，∴AD＝CD，
因此平行四边形FADC 是菱形；
(2)
连接OF，由(1)得：FC＝FA，又OC＝OA，FO＝FO，
∴△FCO≌△FAO，
∴∠FCO＝∠FAO＝90°，
因此FC 是⊙O 的切线．
第3 课时 切线长定理和三角形内切圆 [见B 本P46]
1．如图24－2－30，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB
＝60°，PA＝8，那么弦AB 的长是( B )
图24－2－30
A．4 B．8 C．6 D．10
【解析】 ∵PA、PB 都是⊙O 的切线，
∴PA＝PB，又∵∠P＝60°，
∴△PAB 是等边三角形，即AB＝PA＝8，
2．如图24－2－31，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B，OP 交⊙O 于C，下列结论中，错误的是(
D )
图24－2－31
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
3．如图24－2－32，已知△ABC 中，⊙I 内切于△ABC，切点分别为D，E，F，则I 是△DEF 的(
A )
图24－2－32
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解析】 ⊙I 是△DEF 的外接圆．
4．如图24－2－33，已知PA，PB 切⊙O 于A，B，C 是劣弧AB上一动点，过C 作⊙O 的切线交
PA 于M，交PB 于N，已知∠P＝56°，则∠MON＝( C )
图24－2－33
A．56° B．60° C．62° D．不可求
【解析】 连接OA，OB，则∠AOB＝124°，∴∠MON＝∠AOB＝×124°＝62°，故选C.
5．△ABC 中∠A＝80°，若O 为外心，M 为内心，则∠BOC＝__160__度，∠BMC＝__130__度．
【解析】 根据分析，得∠BOC＝2∠A＝160°；
∠BMC＝90°＋∠A＝130°.
6．[2013·天津]如图24－2－34，PA，PB 分别切⊙O 于点A，B，若∠P＝70°，则∠C 的大小为
__55°．
图24－2－34
【解析】 连接OA，OB，
∵PA，PB 分别切⊙O 于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠P－∠PBO＝360°－90°－70°－90°＝110°，
∴∠C＝∠AOB＝55°.
7．[2012·菏泽]如图24－2－35，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠P
＝46°，则∠BAC＝__23°__．
图24－2－35
【解析】 ∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴PA＝PB，又∠P＝46°，
∴∠PAB＝∠PBA＝＝67°.
又PA 是⊙O 的切线，AO 为⊙O 的半径，
∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，
∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°.
8．如图24－2－36，PA，PB 分别切⊙O 于A，B，连接PO 与⊙O 相交于C，连接AC，BC，求证：
AC＝BC.
图24－2－36
证明：∵PA，PB 分别切⊙O 于A，B，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC.
∴AC＝BC.
9．如图24－2－37，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝
4.
(1)求△ABC 的面积；
(2)求⊙O 的半径；
(3)求AF 的长．
图24－2－37
解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴△ABC 的面积为：×3×4＝6；
(2)连接OE，OD，
∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D，E，F 为切点，
∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC，
又∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形ECDO 为正方形，
∴设OE＝OD＝CE＝CD＝x，
∴BE＝3－x，DA＝4－x；
∴FB＝3－x，AF＝4－x，
∴3－x＋4－x＝5，解得x＝1.
(3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
10．如图24－2－38 所示，AC 是⊙O 的直径，∠ACB＝60°，连接AB，过A，B 两点分别作⊙O
的切线，两切线交于点P.若已知⊙O 的半径为1，则△PAB 的周长为__3__．
图24－2－38
【解析】 ∵AP，BP 是⊙O 的切线，∴∠PAC＝90°，PA＝PB.
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，
∴∠PAB＝90°－30°＝60°，
∴△PAB 是等边三角形．
在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝×2＝1，
∴AB＝＝＝，
∴△PAB 的周长为3.
11．如图24－2－39，已知AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC＝
30°.
(1)求∠P 的大小；
(2)若AB＝2，求PA 的长(结果保留根号)．
图24－2－39
第11 题答图
解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°.
∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°.
又∵PA，PC 切⊙O 于点A，C，∴PA＝PC，
∴△PAC 为等边三角形，
∴∠P＝60°.
(2)如图，连接BC，则∠ACB＝90°.
在Rt△ACB 中，AB＝2，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝×2＝1，
∴AC＝＝＝，
∴PA＝AC＝.
12．如图24－2－40，直尺、三角尺都和圆O 相切，AB＝8 cm.求圆O 的直径．
图24－2－40
第12 题答图
解：作出示意图如答图，连接OE，OA，OB，
∵AC，AB 都是⊙O 的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC.
∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm.
由勾股定理得OB＝＝＝8(cm)，即⊙O 的半径是8cm，
∴⊙O 的直径是16cm.
13．如图24－2－41，PA，PB 分别切⊙O 于A，B，连接PO，AB 相交于D，C 是⊙O 上一点，∠C
＝60°.
(1)求∠APB 的大小；
(2)若PO＝20 cm 求△AOB 的面积．
图24－2－41
解：(1)∵PA，PB 分别为⊙O 的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.
在四边形APBO 中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°.
(2)∵PA，PB 分别为⊙O 的切线，
∴PA＝PB.
∵OA＝OB，PO＝PO，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，
∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，
∴OA＝×OP＝×20＝10 (cm)．
在Rt△AOD 中，∠DAO＝30°，OA＝10 cm，
∴AD＝×OA＝×10＝5(cm)，
OD＝×OA＝×10＝5 (cm)，
∴AB＝2AD＝10cm，
∴S△AOB＝·AB·OD＝×10×5
＝25 (cm2)．
14．如图24－2－42，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DC 切⊙O 于点E，交AM
于点D，交BN 于点C，
(1)求证：OD∥BE；
(2)如果OD＝6 cm，OC＝8 cm，求CD 的长．
图24－2－42
解： (1)证明：如图，连接OE.
∵AM，DC 是⊙O 的切线，∴OA⊥AM，OE⊥CD.
又OA＝OE，OD＝OD，∴△OAD≌△OED(HL)，
∴∠AOD＝∠DOE.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.
∵∠AOE＝∠OBE＋∠OEB＝2∠OBE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠OBE，∴OD∥BE.
(2)由(1)得∠AOD＝∠DOE.
∵CD，BC 是⊙O 的切线，∴OE⊥CD，OB⊥BC.
∵OB＝OE，OC＝OC，∴△OEC≌△OBC，
∴∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOC＝∠DOE＋∠EOC＝∠AOD＋∠BOC＝90°，
∴CD＝＝＝10(cm)．
