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专题21.6 一元二次方程中的动点问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类
型！
一．填空题（共7 小题）
1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，
∠AOC 的平分线交AB 于点D．点P 从点O 出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD 方向移动；同
时点Q 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿x 轴正方向移动．设移动时间为t 秒，当t 为
时，△PQB 为直角三角形．
2．（2022 春•衢江区校级期末）如图，B 是AC 上一点，且BC＝6cm，AB＝4cm，射线BD⊥AC，垂足为
B，动点M 从A 出发以2cm/s 的速度沿着AC 向C 运动，同时动点N 从B 出发以3cm/s 的速度沿着射线
BD 向下运动，连接MN．当△BMN 的面积为3
2
cm2，两动点运动了t（s），则t 的值为 ．
3．（2022•临清市一模）在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD 为BC 边上的高，动点P 从点
A 出发，沿A→D 方向以√2cm/s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S1，矩形PDFE 的面积为S2，运
动时间为t 秒，则t＝ 秒时，S1＝2S2．
4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，
BC＝14cm．动点P、Q 都从点C 同时出发，点P 沿C→B 方向做匀速运动，点Q 沿C→D→A 方向做匀
速运动，当P、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P 以1cm/s 速度运动，点Q 以2
√2cm/s 的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t 为 秒时，△BQP 的面积为24cm2．
5．（2022 秋•惠来县月考）如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一动点N 从C 点出发沿CB 方向
以1cm/s 的速度向B 点运动，同时另一动点M 由点A 沿AB 方向以2cm/s 的速度也向B 点运动，其中一
点到达B 点时另一点也随之停止，当△MNB 的面积为24cm2时运动的时间t 为 秒．
6．（2022 秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB 中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P 从点C 出
发，沿CA 方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 方向运动，速度是1cm/s，则经
过 s 后，P，Q 两点之间相距25cm．
7．（2022 秋•渭滨区期中）如图，A、B、C、D 是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P 从点A
出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度向点D 运
动，当时间为 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm．
二．解答题（共23 小题）
8．（2022 秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC 的边长为6cm，点P 从点A 出发，沿A→C→B 的
方向以2cm/s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿B→A 的方向以1cm/s 的速度向终点A 运
动．当点P 运动到点B 时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：
（1）若点P 在边AC 上，当t 为何值时，△APQ 为直角三角形？
（2）是否存在这样的t 值，使△APQ 的面积为2√3cm2？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理
由．
9．（2022 秋•泗阳县期末）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P 从点A 出发沿
边AB 向点B 以2cm/s 的速度移动，同时动点Q 从点B 出发沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，当P 运
动到B 点时P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t 的代数式表示）
（2）D 是AC 的中点，连接PD、QD，t 为何值时△PDQ 的面积为40cm2？
10．（2022 春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD
＝21．动点P 从点D 出发，沿线段DA 的方向以每秒2 个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，在
线段CB 上以每秒1 个单位长度的速度向点B 运动．点P，Q 分别从点D，C 同时出发，当点P 运动到点
A 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t（s），当t 为何值时，以B，P，Q 三点为顶点的三角形为等
腰三角形？
11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速
度移动，如果P，Q 分别从A，B 同时出发，经过几秒，点P，Q 之间的距离为√6cm？
（2）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速
度移动，如果P，Q 分别从A，B 同时出发，经过几秒，使△PBQ 的面积等于8cm2？
（3）若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm/s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm/s
的速度移动，P，Q 同时出发，几秒后，△PBQ 的面积为1cm2？
12．（2022 秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P 从点A 出发，以2cm/s
的速度沿AB 向点B 移动，同时，点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD 向点D 移动（点P 到达点B
停止时，点Q 也随之停止运动），设点P 运动时间为t 秒．
（1）试求当t 为何值时四边形APQD 为矩形；
（2）P、Q 两点出发多长时间，线段PQ 的长度为5cm．
13．（2022 春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P 从点A 沿边AB 向点B
以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．问：
（1）几秒时△PBQ 的面积等于8cm2；
（2）几秒时△PDQ 的面积等于28cm2；
（3）几秒时PQ⊥DQ．
14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P 从点B 出发沿线段BC、CD
以2cm/s 的速度向终点D 运动；同时，点Q 从点C 出发沿线段CD、DA 以1cm/s 的速度向终点A 运动
（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ 的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
15．（2022 春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝
2cm，动点P、Q 分别从点A、C 同时出发，点P 以2 厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1 厘米/秒的
速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
（1）当t＝1 秒时，四边形BCQP 面积是多少？
（2）当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm？
（3）当t＝ 以点P、Q、D 为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
16．（2022 秋•皇姑区校级月考）（1）求x2+6x+1 的最小值；
（2）求﹣2x2+6x+1 的最大值；
（3）如图，已知AB＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD
和菱形PBFE，点P，C，E 在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N 分别是对角线AC，BE 的中点，当点P
在线段AB 上移动时，设AP＝x，直接用含有x 的代数式表示MN2，并直接写出MN2的最小值．
17．（2022 秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD 中，AB＝8，AD＝4．点P 从点A 出发，沿
A→D→C→D 运动，速度为每秒2 个单位长度；点Q 从点A 出发向点B 运动，速度为每秒1 个单位长度．
P、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t（秒）．连接
PQ、AC、CP、CQ．
（1）点P 到点C 时，t＝ ；当点Q 到终点时，PC 的长度为 ；
（2）用含t 的代数式表示PD 的长；
（3）当三角形CPQ 的面积为9 时，求t 的值．
18．（2022 春•大庆期中）如图，菱形ABCD 中，AC，BD 交于O，AC＝8cm，BD＝6cm，动点M 从A 出
发沿AC 方向以每秒2cm 匀速直线运动到C，动点N 从B 出发沿BD 方向以每秒1cm 匀速直线运动到
D，若M，N 同时出发，问出发后几秒钟时，△MON 的面积为菱形ABCD 面积的1
12
？
19．（2022 秋•海州区校级月考）如图，在正方形ABCD 中，AB＝5cm，动点P 以√2cm/s 的速度从点A 出
发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1cm/s 的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P、Q 两点移动
时间为ts（0＜t＜5）．在P、Q 两点移动的过程中，PQ 的长度能否等于√10cm？若能，求出此时t 的值；
若不能，请说明理由．
20．（2022•曹县二模）如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1cm，AB＝3cm，BC＝5cm，
动点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿BC 的方向运动，动点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿CD 方向运动，
P、Q 两点同时出发，当Q 到达点D 时停止运动，点P 也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）
（1）求线段CD 的长；
（2）t 为何值时，线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为1：2 两部分？
21．（2022 秋•天宁区月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点
A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每
秒2 个单位长度的速度向点A 移动，设点P、Q 移动的时间为t 秒．
（1）求点Q 的坐标；
（2）当t 为何值时，△APQ 的面积为24
5
个平方单位？
22．（2022 秋•镇江期中）在矩形ABCD 中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P 从点A 出发沿AB 以2cm/s 的速度
向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以1cm/s 的速度向点C 移动，点P 运动到点B 时，点Q 也停
止运动，几秒钟后△PQC 的面积等于16cm2？
23．（2022 秋•丹阳市校级月考）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝BC＝10cm，点P 从点A 出发沿射
线AB 以1cm/s 的速度做直线运动，点Q 从点C 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度做直线运动．如果P，Q
分别从A，B 同时出发，经过几秒，S△PCQ= 12
25
S△ABC？
24．（2022 春•萧山区期中）如图，在Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．有一动点P 从B
点出发，在射线BC 方向移动，速度是2cm/s，在P 点出发后2 秒后另一个动点Q 从A 点出发，在射线
AC 方向移动，速度是1cm/s．若设P 出发后时间为t 秒．
（1）用含t 的代数式分别表示线段AQ、PC 的长度，并写出相应的t 的取值范围．
（2）连接AP、PQ，求使△APQ 面积为3cm2时相应的t 的值．
（3）问是否存在这样的时间t，使AP 平分∠BAC 或者∠BAC 的外角？如果存在，请求出t 的值；如果
不存在，请说明理由．
25．（2022 秋•营山县校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P 从点A 开始沿AB
边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P、Q 分别从
A、B 同时出发，问几秒钟时△PBQ 的面积等于8cm2？
26．（2022 秋•淮安校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P 从点A 沿边AB 向点
B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，问几秒后△PBQ 的面
积等于8cm2？
27．（2022 秋•武侯区期末）如图，AB＝200cm，O 为AB 的中点，OE⊥AB，P 从A 点以2cm/s 的速度向B
运动，点Q 从O 点以3cm/s 的速度运动向E 运动，当P、Q 两点运动多少时间时，△POQ 的面积为
1800cm2？
28．（2022 春•永嘉县期中）附加题
（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根互为相反数的条件是
．
（2）已知x、y 为实数，√3 x−2+ y
2−4 y + 4 =0，则x
y = ．
（3）在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90 度，BC＝16，AD＝21，DC＝12，动点P 从点D 出发，
沿线段DA 方向以每秒2 个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 以每秒1 个单位长度
的速度向点B 运动．点P、Q 分别从点D、C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动，设
运动时间为t 秒．
①设△BPQ 的面积为S，求S 和t 之间的函数关系式；
②当t 为何值时，以B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论）
29．（2022 秋•驻马店期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝8cm，AD＝6cm，点F 是CD 延长线上一点，且
DF＝2cm．点P、Q 分别从A、C 同时出发，以1cm/s 的速度分别沿边AB、CB 向终点B 运动，当一点运
动到终点B 时，另一点也停止运动．FP、FQ 分别交AD 于E、M 两点，连接PQ、AC，设运动时间为t
（s）．
（1）用含有t 的代数式表示DM 的长；
（2）设△FCQ 的面积为y （cm2），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）线段FQ 能否经过线段AC 的中点？若能，请求出此时t 的值；若不能，请说明理由；
（4）设△FPQ 的面积为S （cm2），求S 与t 之间的函数关系式，并回答：在t 的取值范围内，S 是如
何随t 的变化而变化的？
30．（2022 春•文登区期中）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P 从A 出发向C
以1cm/s 的速度运动、点Q 同时从C 出发向B 以1cm/s 的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止
运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．
（1）几秒后，△CPQ 的面积为Rt△ABC 的面积的1
8
？
（2）填空：①点经过 秒，点P 在线段AB 的垂直平分线上．
②点Q 经过 秒，点Q 在∠BAC 的平分线上．
