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专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】
【人教版】
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】.........................................................................................1
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】.........................................................................................3
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】.........................................................................................4
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】.............................................................................................6
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】.........................................................................................................9
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】...................................................................................................11
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】...........................................................................................................14
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】...........................................................................19
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
如果一元二次方程ax
2+bx +c =0(a≠0)
的两个实数根是
2
1
x
x ，
，那么
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】
【例1】（2022•江安县模拟）若α、β 是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0 的两根，则α
β + β
α 的值是 ．
【分析】根据根与系数的关系可得α+β=−3
2，αβ=−5
2，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可
求出代数式的值．
【解答】解：∵α+β=−3
2，αβ=−5
2，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ= 29
4 ，
∴α
β + β
α = α
2+ β
2
αβ
=−29
10，
故答案为：−29
10．
【变式1-1】（2021 秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0 的两根，则（x1﹣1）（x2
﹣1）的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0 的两根，
∴x1+x2＝7；x1x2＝5．
则（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝5﹣7+1＝﹣1．
故选：B．
【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b 满足√a−2+|b+3|＝0，若关于x 的一元二次方程x2﹣ax+b
＝0 的两个实数根分别为x1、x2，则1
x1
+ 1
x2
的值是（ ）
A．−2
3
B．2
3
C．2
D．1
6
【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝3，将1
x1
+ 1
x2
变形为
x1+ x2
x1 x2
，整体代入即可求得．
【解答】解：∵实数a、b 满足√a−2+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x 的一元二次方程x2﹣ax+b＝0 的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴1
x1
+ 1
x2
= x1+ x2
x1 x2
=−2
3，
故选：A．
【变式1-3】（2022 春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0 的两个根，则α
﹣β 的值为（ ）
A．﹣9
B．9
C．﹣9 或9
D．﹣5 或5
【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝5，α•β＝﹣14，将其代入（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β 中可
求出（α﹣β）2的值，开方后即可求出α﹣β 的值．
【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0 的两个根，
∴α+β＝5，α•β＝﹣14，
∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β＝52﹣4×（﹣14）＝81，
∴α﹣β＝±9．
故选：C．
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】
【例2】（2022•乳山市模拟）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0 的两个根，则3x1
2﹣3x1+x2
2＝（ ）
A．1
4
B．5
4
C．9
4
D．3
4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2= 3
2，x1x2= 1
2，将3x1
2﹣3x1+x2
2变形后求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0 的两个根，
∴x1+x2= 3
2，x1x2= 1
2，2x1
2﹣3x1+1＝0，
∴3x1
2﹣3x1+x2
2
＝2x1
2﹣3x1+x1
2+x2
2
＝﹣1+( x1+ x2)
2−2 x1 x2
＝﹣1+ 9
4 −1
= 1
4 ，
故选：A．
【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0 的两个根分别为x1，x2，则x1
2
−2022
x2
+1 的值为（ ）
A．﹣1
B．0
C．﹣2022
D．﹣2021
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x1
2+1＝2022x1，则x1
2−2022
x2
+1 变形为2022× x1 x2−1
x2
，
再根据根与系数的关系得到x1x2＝1，然后利用整体的方法计算即可．
【解答】解：∵x＝x1为方程x2﹣2022x+1＝0 的根，
∴x1
2﹣2022x1+1＝0，
∴x1
2+1＝2022x1，
∴x1
2−2022
x2
+1＝2022x1−2022
x2
=2022× x1 x2−1
x2
，
∵方程x2﹣2022x+1＝0 的两个根分别为x1，x2，
∴x1x2＝1，
∴x1
2−2022
x2
+1＝2022× 1−1
x2
=0．
故选：B．
【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m，n 是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0 的两个实数根，则m2﹣6m﹣
n+2022 的值是（ ）
A．2016
B．2018
C．2020
D．2022
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣5m﹣1＝0，则m2﹣5m＝1，根据根与系数的关系得
出m+n＝5，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：∵m 是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0 的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n 是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0 的两个根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．
故选：B．
【变式2-3】（2022 春•海门市期末）若m，n 是方程x2﹣2x﹣1＝0 的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022 的
值为 ．
【分析】由m，n 是方程x2﹣2x﹣1＝0 的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求
式子即可得到答案．
【解答】解：∵m，n 是方程x2﹣2x﹣1＝0 的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，
∴2m2+4n2﹣4n+2022
＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022
＝4m+2+8n+4﹣4n+2022
＝4（m+n）+2028
＝4×2+2028
＝2036，
故答案为：2036．
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】
【例3】（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0 的两个实数根，则代数式x1
3﹣2022x1+x2
2的
值是（ ）
A．4045
B．4044
C．2022
D．1
【分析】把x＝x1代入方程表示出x1
2﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的
关系求出所求即可．
【解答】解：把x＝x1代入方程得：x1
2﹣x1﹣2022＝0，即x1
2﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0 的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x1（x1
2﹣2022）+x2
2
＝x1
2+x2
2
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a，b 是方程x2﹣x﹣5＝0 的两根，则代数式﹣a3+5a−5
b的值是（
）
A．5
B．﹣5
C．1
D．﹣1
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2﹣a＝5，ab＝﹣5，变形后可得出a2﹣5＝
a，a=−5
b ，将其代入﹣a3+5a−5
b =−a（a2﹣5）−5
b中可得出原式＝﹣a2+a，再结合a2﹣a＝5，即可求
出原式＝﹣5．
【解答】解：∵a，b 是方程x2﹣x﹣5＝0 的两根，
∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，
∴a2﹣5＝a，a=−5
b，
∴﹣a3+5a−5
b =−a（a2﹣5）−5
b =−a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5．
故选：B．
【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m，n 是一元二次方程x2+x﹣3＝0 的两个实数根，则m3﹣4n2+17 的值
为（ ）
A．﹣2
B．6
C．﹣4
D．4
【分析】根据m，n 是一元二次方程x2+x﹣3＝0 的两个实数根，可以得到m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，
m+n＝﹣1，然后变形得到m3和4n2，再代入所求式子，计算即可．
【解答】解：∵m，n 是一元二次方程x2+x﹣3＝0 的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
【变式3-3】（2022 春•汉阳区校级月考）已知m，n 是方程x2﹣4x+2＝0 的两根，则代数式2m3+5n2−16
n +
4 的值是（ ）
A．57
B．58
C．59
D．60
【分析】将代数式的次数化为一次，然后将m，n 的值代入求解即可．
【解答】解：∵m，n 是方程x2﹣4x+2＝0 的两根，
∴m2﹣4m+2＝0，n2﹣4n+2＝0，m+n＝4
∴m2＝4m﹣2，n2＝4n﹣2，
∴n＝4−2
n，即2
n =4﹣n，m3＝4m2﹣2m＝14m﹣8，
∴原式＝2（14m﹣8）+5（4n﹣2）﹣8（4﹣n）+4
＝28（m+n）﹣54
＝58．
故选：B．
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】
【例4】（2021 秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0 的两个不相等
的实数根，且满足1
x1
+ 1
x2
=1，则m 的值为（ ）
A．﹣3 或1
B．﹣1 或3
C．﹣1
D．3
【分析】根据根与系数关系得出：x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，代入1
x1
+ 1
x2
=1中，求出m 的值，再进行检
验即可．
【解答】解：∵x1、x2是关于x 的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0 的两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，
∴1
x1
+ 1
x2
= x1+ x2
x1 x2
= 2m+3
m
2
=1，
解得：m＝3 或m＝﹣1，
把m＝3 代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；
把m＝﹣1 代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1 舍去．
故选：D．
【变式4-1】（2021 秋•黔西南州期末）已知关于x 的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0 有两个不
相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x1
2+x2
2﹣x1x2＝16，则a 的值为（ ）
A．﹣6
B．﹣1
C．1 或﹣6
D．6 或﹣1
【分析】先根据判别式的意义得到a＜3，再根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣
2，利用x1
2+x2
2﹣x1x2＝16 得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解关于a 的方程，然后利用a 的范围
确定满足条件的a 的值．
【解答】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得a＜3，
根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x1
2+x2
2﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣5a﹣6＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝6，
而a＜3，
∴a 的值为﹣1．
故选：B．
【变式4-2】（2022 春•仓山区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k 的值．
【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝4k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的两实数解为a、b，根据根与系数的关系得a+b＝4k，ab＝3k2，再利用|a﹣b|＝3 得到
（a+b）2﹣4ab＝9，则16k2﹣4×3k2＝9，然后解方程，从而得到满足条件的k 的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4k）2﹣4×3k2＝4k2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数解为a、b，
根据根与系数的关系得x1+x2＝4k，x1x2＝3k2，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴16k2﹣4×3k2＝9，
即k2= 9
4 ，
解得k1= 3
2，k2=−3
2．
故k 的值为3
2或−3
2．
【变式4-3】（2022•内江）已知x1、x2是关于x 的方程x2﹣2x+k﹣1＝0 的两实数根，且x2
x1
+ x1
x2
=x1
2+2x2﹣
1，则k 的值为 ．
【分析】根据x1、x2 是关于x 的方程x2﹣2x+k﹣1＝0 的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x1
2﹣
2x1+k﹣1＝0，把x2
x1
+ x1
x2
=x1
2+2x2﹣1 变形再整体代入可得2
2−2(k −1)
k −1
=4﹣k，解出k 的值，并检验即
可得k＝2．
【解答】解：∵x1、x2是关于x 的方程x2﹣2x+k﹣1＝0 的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x1
2﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x1
2＝2x1﹣k+1，
∵
x2
x1
+ x1
x2
=x1
2+2x2﹣1，
∴( x1+ x2)
2−2 x1 x2
x1 x2
=2（x1+x2）﹣k，
∴2
2−2(k −1)
k −1
=4﹣k，
解得k＝2 或k＝5，
当k＝2 时，关于x 的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5 时，关于x 的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】
【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，
则b√
b
a +a√
a
b 的值为（ ）
A．23
B．﹣23
C．﹣2
D．﹣13
【分析】根据（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b 可看成是关于x 的方程
（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0 的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解．
【解答】解：∵a、b 是关于x 的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0 的两个根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵Δ＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b 均为负数．
因此b√
b
a +a√
a
b =−b
a √ab−a
b √ab=−a
2+b
2
ab
√ab=−(a+b)
2−2ab
√ab
=−23．
故选：B．
【变式5-1】（2021 秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β 满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，
且1
β
2 + α
β −5
2 α的值为（ ）
A．25
4
B．−25
4
C．−17
4
D．33
4
【分析】方法1：2β2﹣5β﹣2＝0，可得2（1
β ）2+5× 1
β −2＝0，那么α、1
β 是方程2x2+5x﹣2＝0 的两实
根，由根与系数关系得α+ 1
β =−5
2，α• 1
β =−1，再把1
β
2 + α
β −5
2 α变形−5
2（α+ 1
β ）+α• 1
β ，然后利用
整体代入的方法计算；
方法2：代数式先提取前两项中的1
β ，再提取−5
2即可．
【解答】解：方法1：∵2β2﹣5β﹣2＝0，
∴β≠0，
方程两边同时除以﹣β2，可得2（1
β ）2+5× 1
β −2＝0，
又2α2+5α﹣2＝0，
∴α、1
β 是方程2x2+5x﹣2＝0 的两实根，
∴α+ 1
β =−5
2，α• 1
β =−1，
∴1
β
2 + α
β −5
2 α
=−5
2 × 1
β +1+α• 1
β −5
2α
=−5
2（α+ 1
β ）+α• 1
β +1
=−5
2 ×（−5
2）+（﹣1）+1
= 25
4 ．
方法2：1
β
2 + α
β −5
2 α
= 1
β （1
β +α）−5
2α
=−5
2 × 1
β −5
2α
=−5
2 ×（1
β +α）
=−5
2 ×（−5
2）
= 25
4 ．
故选：A．
【变式5-2】（2022•周村区二模）已知a、b、m、n 为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）
（b+n）＝2，则ab﹣mn 的值为（ ）
A．4
B．1
C．﹣2
D．﹣1
【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b 看作
方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0 的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn 的
值．
【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n 为互不相等的实数，
∴a、b 看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0 的两实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．
【变式5-3】（2022 春•杭州期中）若xy+x≠1，且5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，则
x
y +1的值是
．
【分析】方程9y2+318y+314＝0 可变形为9（y+1）2+300（y+1）+5＝0，把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0
两边都除以（y+1 ）2 得5× （
1
y +1）2+300×
1
y +1 +9 ＝0 ，结合xy+x≠1 可得出x ，
1
y +1是方程
5x2+300x+9＝0 的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案．
【解答】解：∵9y2+318y+314＝0，
∴9（y+1）2+300（y+1）+5＝0．
把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0 两边都除以（y+1）2，得5×（1
y +1）2+300×
1
y +1 +9＝0．
∵xy+x≠1，
∴x≠
1
y +1，
∴x，1
y +1是方程5x2+300x+9＝0 的两个不相等的实数根，
∴
x
y +1 = 9
5．
故答案为：9
5．
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】
【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x 的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q 为常
数）有两个相等的实数根，则下列结论：
①1 和一1 都是方程x2+qx+p＝0 的根
②0 可能是方程x2+qx+p＝0 的根
③﹣1 可能是方程x2+qx+p＝0 的根
④1 一定不是方程x2+qx+p＝0 的根
其中正确的是（ ）
A．①②
B．③④
C．②③
D．①④
【分析】根据根的判别式可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，进一步可得q＝±（p+1），可知x＝1 或x＝
﹣1 可能是但不能同时是方程x2+qx+p＝0 的根；当x＝0 时，可得p 和q 的值且符合题意，即可进行判断．
【解答】解：根据题意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，
∴q＝±（p+1），
当q＝p+1 时，q﹣p﹣1＝0，
此时x＝﹣1 是方程x2+qx+p＝0 的根，
当q＝﹣（p+1）时，q+p+1＝0，
此时x＝1 是方程x2+qx+p＝0 的根，
∵p+1≠0，
∴p+1≠﹣（p+1），
∴x＝1 和x＝﹣1 不能同时是方程x2+qx+p＝0 的根，
故①④不符合题意，③选项符合题意；
当x＝0 时，p＝0，
∴q＝±1，
∴当p＝0，q＝±1 时，x＝0 是方程x2+qx+p＝0 的根，
故②符合题意，
故选：C．
【变式6-1】（2022 春•余杭区月考）已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 与cx2+bx+a＝0，且ac≠0，
a≠c．下列说法正确的是（ ）
A．若方程ax2+bx+c＝0 有两个相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0 没有实数根
B．若方程ax2+bx+c＝0 的两根符号相同，则方程cx2+bx+a＝0 的两根符号也相同
C．若5 是方程ax2+bx+c＝0 的一个根，则5 也是方程cx2+bx+a＝0 的一个根
D．若方程ax2+bx+c＝0 和方程cx2+bx+a＝0 有一个相同的根，则这个根必是x＝1
【分析】利用根的判别式与根与系数的关系判断即可．
【解答】解：A、若方程ax2+bx+c＝0 有两个相等的实数根，
则有b2﹣4ac＝0，可得方程cx2+bx+a＝0 也有两个相等的实数根，不符合题意；
B、若方程ax2+bx+c＝0 的两根符号相同，即c
a ＞0，
则方程cx2+bx+a＝0 的两根符号也相同，符合题意；
C、把x＝5 代入方程得：25a+5b+c＝0，
而25c+5b+a 不一定为0，即x＝5 不一定是方程cx2+bx+a＝0 的一个根，不符合题意；
D、若方程ax2+bx+c＝0 和方程cx2+bx+a＝0 有一个相同的根，
则有ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
由a≠c，得到x2＝1，即x＝±1，不符合题意．
故选：B．
【变式6-2】（2022 春•仓山区校级期末）已知两个关于x 的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a
＝0，其中ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根
B．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根
C．若5 是方程M 的一个根，则1
5是方程N 的一个根
D．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x＝1
【分析】A、一元二次方程ax2+bx+c＝0 有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0，对于方程cx2+bx+a＝
0，Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程N 也有两个相等的实数根；
B、利用ac＜0 和根的判别式进行判断即可；
C、把x＝5 代入ax2+bx+c＝0 得：25a+5b+c＝0，等式的两边同除以25 得到1
25c+ 1
5b+a＝0，于是得到1
5
是方程N 的一个根，无法得到5 是方程N 的一个根；
D、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根可能是x＝±1．
【解答】解：A、∵方程M 有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∵方程N 的Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程N 也有两个相等的实数根，故不符合题意；
B、∵方程M 的两根符号相同，
∴c
a ＜0，且b2﹣4ac＞0，
∴a
c ＞0，且b2﹣4ac＞0，
∴方程N 也有一个正根和一个负根，故不符合题意；
C、∵把x＝5 代入ax2+bx+c＝0 得：25a+5b+c＝0，
∴1
25c+ 1
5b+a＝0，
∴1
5是方程N 的一个根，故不符合题意；
D、∵方程M 和方程N 有一个相同的根，
∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，
∴（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a≠c，
∴x2＝1，
∴x＝±1，
即这个根可能是x＝±1；故符合题意．
故选：D．
【变式6-3】（2022 春•瑶海区校级期末）关于x 的一元二次方程x2+px+q＝0 有两个同号非零整数根，关于
y 的一元二次方程y2+qy+p＝0 也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p 是正数，q 是负数
B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8
C．q 是正数，p 是负数
D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8
【分析】设方程x2+px+q＝0 的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0 的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结
合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A 与C；②由方程有两个实数根结合根
的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞
8，即可判断B 与D．
【解答】解：设方程x2+px+q＝0 的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0 的两根为y1、y2．
∵关于x 的一元二次方程x2+px+q＝0 有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y2+qy+p＝0 也有
两个同号非零整数根，
∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，
故选项A 与C 说法均错误，不符合题意；
∵关于x 的一元二次方程x2+px+q＝0 有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y2+qy+p＝0 也有
两个同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q 不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B 说法错误，不符合题意；选项D 说法正确，符合题意；
故选：D．
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】
【例7】（2022 秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 有两个实数根x1，x2，且满
足数轴上x1，x2所表示的点到2 所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2 的等距方程”以下
“关于2 的等距方程”的说法，正确的有
．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0 是关于2 的等距方程；
②当5m＝﹣n 时，关于x 的方程（x+1）（mx+n）＝0 一定是关于2 的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0 是关于2 的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x 的方程px2﹣x+ 3
4 =0 是关于2 的等距方程．
【分析】①解得方程的解后即可利用关于2 的等距方程的定义进行判断；
②解得方程的解后即可利用关于2 的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2+bx+c＝0 是关于2 的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2
时，x1＝x2=−b
2a，不能判断a 与b 之间的关系，当x1+x2＝4 时，即−b
a =4，得到b＝﹣4a，据此即可
判断；
④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x2
2= 3
4 （3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1 或x2＝0（舍去），然后利用关于
2 的等距方程的定义进行判断．
【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，①正确；
②当m≠0，n≠0 时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2= n
−m，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2 的等距方程；
当m＝n＝0 时，原方程x+1＝0 不是一元二次方程，故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），
由韦达定理得：x1+x2=−b
a，
∵方程是2 的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2 或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2=−b
2a，不能判断a 与b 之间的关系，
当x1+x2＝4 时，即−b
a =4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2 的等距方程时，b 不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x+ 3
4 =0 有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2= 3
4 p ，x1+x2= 1
p ，
∴x1x2= 3
4 × 1
p = 3
4 （x1+x2），
∴3x2
2= 3
4 （3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1 或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+ 3
4 =0 是关于2 的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为①④．
【变式7-1】（2021 秋•金牛区期末）将两个关于x 的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、
k 均为常数）的形式，如果只有系数a 不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方
程”．已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0 是“同源二次方程”，
且方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b﹣2c＝
4
，ax1+x1x2+ax2的最大值是 ．
【分析】根据新的定义可知b＝2a，c＝a﹣2，即可得到b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，由根与系数的关系
x1+x2＝﹣2，x1x2= a−2
a
，代入变形后的代数式得到ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a+ a−2
a
=−2
（a+ 1
a）+1，设a+ 1
a =t（t＞0），得a2﹣t•a+1＝0，根据题意解得t≥2，即a+ 1
a ≥2，即可得到
ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a+ 1
a）+1≤﹣3．
【解答】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可变形为a（x+1）2﹣2＝0，
∴a（x+1）2﹣2＝ax2+bx+c，
∴ax2+2ax+a﹣2＝ax2+bx+c，
∴b＝2a，c＝a﹣2，
∴b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，
∵x1+x2＝﹣2，x1x2= a−2
a
∴ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a+ a−2
a
=−2（a+ 1
a）+1，
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2a）2﹣4a（a﹣2）＝8a≥0，且a≠0，
∴a＞0，
设a+ 1
a =t（t＞0），得a2﹣t•a+1＝0，
∵方程a2﹣t•a+1＝0 有正数解，
∴Δ＝t2﹣4≥0，解得t≥2，即a+ 1
a ≥2，
∴ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a+ 1
a）+1≤﹣3，
∴ax1+x1x2+ax2的最大值是﹣3．
故答案为：4，﹣3．
【变式7-2】（2021 秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 有两个实数根，
且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0 是倍根方程；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0 是倍根方程，则m，n 具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c 的等量关系是 ．
（直接写出结果）
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据“倍根方程”可判断方程x2﹣3x+2
＝0 是倍根方程；
（2）利用因式分解法解方程得x1＝2，x2=−n
m，再利用“倍根方程”的定义得到−n
m =2×2 或
−n
m = 1
2 ×2，从而得到m、n 的关系式；
（3）设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t=−b
a，t•2t= c
a，然后消去t 得到a、b、c
的关系．
【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0 或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1，
∴方程x2﹣3x+2＝0 是倍根方程；
（2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0，
∴x1＝2，x2=−n
m，
当−n
m =2×2 时，n＝﹣4m，即4m+n＝0；
当−n
m = 1
2 ×2 时，n＝﹣m，即m+n＝0；
综上所述，m、n 的关系式为4m+n＝0 或m+n＝0．
（3）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得t+2t=−b
a，t•2t= c
a，
∴t=−b
3a，
∴2（−b
3a）2= c
a，
∴2b2＝9ac．
故答案为：2b2＝9ac．
【变式7-3】（2022 春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满
足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2√3x+1＝0；
（2）已知关于x 的方程x2+2ax＝0 是“差根方程”，求a 的值；
（3）若关于x 的方程ax2+bx+1＝0（a，b 是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a 与b 之间的数量关
系式．
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据x2+2ax＝0 是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a 得到2a＝±1，从而得到a＝±1
2；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b 是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系
得到√(−b
a )
2
−4⋅1
a =1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0 的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|=√( x1+ x2)
2−4 x1 x2=√4
2−4×(−5)=6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0 不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2√3x+1＝0 的两个实数根，
∴x1+x2=√3，x1•x2= 1
2，
∴|x1﹣x2|=√( x1+ x2)
2−4 x1 x2=√(√3)
2−4× 1
2 =1，
∴方程2x2﹣2√3x+1＝0 是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x 的方程x2+2ax＝0 是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±1
2；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b 是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2=−b
a，x1•x2= 1
a，
∵关于x 的方程ax2+bx+1＝0（a，b 是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|=√( x1+ x2)
2−4 x1 x2=1，即√(−b
a )
2
−4⋅1
a =1，
∴b2＝a2+4a．
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
【例8】（2021 秋•锦江区校级期中）已知关于x 的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个小于5 的根，另一个根大于5，求m 的取值范围；
【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ≥0，进而得到结论；
（2）当两根一个大于5 一个小于5 时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与5 的差的积小于零，
列出不等式解之即可；
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝（m﹣4）2≥0，
∴不论m 取何实数，该方程总有两个实数根；
（2）设两个实数根为x1，x2，
则x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，
∵方程的一个根大于5，另一个根小于5，
∴（x1﹣5）（x2﹣5）＝x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，
∴2m﹣4﹣5m+25＜0，
解得：m＞7，
∴方程的一个根大于5，另一个根小于5，m 的取值范围是m＞7；
【变式8-1】（2022 春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0 时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m 的取值范围．
【分析】（1）通过一元二次方程根的判别式求解．
（2）由一元二次方程根与系数的关系求出x1•x2=−m+1
m
＞1，进而求解．
【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+nx （
−
m+n）＝0，
∴m≠0，Δ＝n2−4m×[ （
−
m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴该方程有两个实数根．
（2）将n＝1 代入方程mx2+nx （
−
m+n）＝0，得mx2+x （
−
m+1）＝0，
∵方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，
∴x1•x2=−m+1
m
＞1，
当m＜0 时，可得−1
2 ＜m＜0，
即m 的取值范围是−1
2 ＜m＜0．
【变式8-2】（2022 秋•新都区校级月考）实数k 取何值时，关于x 的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝
0
（1）有两个负根？
（2）两根异号，且负根绝对值较大？
（3）一根大于5，一根小于5？
【分析】（1）根据一元二次方程有两个实根，则判别式△≥0，并且两根的和小于0，且两根的积大于
0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k 的不等式组，即可求得k 的范围；
（2）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式Δ＞0，并且负根的绝对值较大，则两根的和小
于0，且两根的积小于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k 的不等式组，即可求得k
的范围；
（3）设方程的两个根分别是x1、x2，根据题意，得（x1﹣5）（x2﹣5）＜0，根据一元二次方程根与系
数的关系即可求得k 的取值范围，再根据Δ＞0 确定k 的范围．
【解答】解：（1）设方程的两个负根为x1、x2，则：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2≥0 ①，
x1+x2＝1﹣3k＜0，x1x2＝3k﹣2＞0 ②，
解①得：k 为任意实数，
解②得：k＞2
3，
所以k 的取值范围是k＞2
3；
（2）设方程的两个根为x1、x2，则：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，
x1+x2＝1﹣3k＜0，x1x2＝3k﹣2＜0 ②，
解①得：k≠1，
解②得：1
3 ＜k＜2
3，
所以k 的取值范围是1
3 ＜k＜2
3；
（3）设方程的两个根为x1、x2，则：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，
（x1﹣5）（x2﹣5）＜0 ②，
解①得：k≠1，
由②得：x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，
又x1+x2＝1﹣3k，x1x2＝3k﹣2，
代入整理，得18k+18＜0，
解得k＜﹣1．
则k＜﹣1．
【变式8-3】（2022 春•越秀区校级月考）设关于x 的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0 的两个实数根分别为α、β．
（1）证明：无论实数m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当|α|+|β|≤6 时，试确定实数m 的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据x 的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0 的实根为α、β，由根与系数的关系列出不等式即可解出m 的取值
范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4（﹣m2+1）＝4m2+21＞0，
∴无论实数m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵α+β＝5，αβ＝1﹣m2，|α|+|β|≤6，
∴α2+β2+2|αβ|≤36，
即（α+β）2﹣2αβ+2|αβ|≤36．
∴25﹣2（1﹣m2）+2|1﹣m2|≤36，
当1﹣m2≥0 时，25≤36 成立，
∴﹣1≤m≤1 ①．
当1﹣m2＜0 时，
得25﹣4（1﹣m2）≤36，
∴−√15
2 ≤m≤√15
2 ②．
由①、②得−√15
2 ≤m≤√15
2 ．
