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专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】
【人教版】
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】.............................................................................1
【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】.................................................................................2
【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】.....................................................................................4
【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】.................................................................................................7
【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】.........................................................................................................8
【题型6 根的判别式与新定义的综合】................................................................................................................10
【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】...............................................................................................12
【题型8 根的判别式与三角形的综合】................................................................................................................14
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b
2−4 ac．
①当∆=b
2−4 ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b
2−4 ac =0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b
2−4 ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】
【例1】（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0 的根的情况为（ ）
A．无实数根
B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能判定
【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可得出结论．
【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，
∴2x2﹣5x+6＝0 无实数根，
故选：A．
【变式1-1】（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0 的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【变式1-2】（2022 春•长沙期末）关于x 的一元二次方程x
2−4√2 x +9=0的根的情况，下列说法正确的
是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．
【解答】解：方程x2﹣4√2x+9＝0，
∵Δ＝（﹣4√2）2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【变式1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】先把方程化为一般式，再应用根的判别式进行计算即可得出答案．
【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝x﹣4，
x2+x+1＝0，
a＝1，b＝1，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
所以原方程无实数根．
故选：D．
【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】
【例2】（2022 春•钱塘区期末）已知关于x 的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k 的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k 的值，使得方程没有实数解
C．无论k 为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k 为何值，方程有两个不相等的实数根
【分析】先计算Δ 的值，利用k 的值，可作判断．
【解答】解：关于x 的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1 时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k 的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k 为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选
项正确；
D、当k≠﹣1 时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
【变式2-1】（2022•南召县模拟）已知关于x 的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0 时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0 时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0 时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p 的值无关
【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．
【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p 可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
当p＝0 时，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A 不符合题意；
当p＞0 时，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B 符合题意；
当p＜0 时，Δ 的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C 不符合题意；
∵方程的根的情况和p 的值有关，
故选项D 不符合题意．
故选B．
【变式2-2】（2022•环翠区一模）对于任意的实数k，关于x 的方程1
4 x
2−(k +2)x +2k
2+5k +5=0的根
的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣（k+ 1
2
）2−3
4 ＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根
的情况．
【解答】解：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4× 1
4
（2k2+5k+5）
＝﹣（k+ 1
2
）2−3
4 ＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
【变式2-3】（2022 春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x 的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0 的根的
情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．无实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根
的情况．
【解答】解：∵Δ＝4（k+5）2﹣4（2k2+4k+50）
＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，
∴方程无实数根．
故选：B．
【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】
【例3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于x 的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0 总有实数根的条件，下面三名
同学给出建议：甲：a，b 同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确
B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确
D．只有乙正确
【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例可根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；
若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝
（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断．
【解答】解：Δ＝b2+4a，
若a、b 同号，a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件不满足方程
总有实数根；
若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程
总有实数根；
若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足
方程总有实数根；
故选：B．
【变式3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c 满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x 的方程
ax2﹣cx+b＝0 的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有且只有一个实数根
C．两个实数根
D．无数个实数根
【分析】根据条件得到a+b＝c，a＞0，关于x 的方程ax2﹣cx+b＝0 是一元二次方程，根据判别式求根
的情况即可．
【解答】解：∵a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，
∴a+b＝c，3a+b﹣（a+b）＞0，
∴3a+b﹣a﹣b＞0，
∴2a＞0，
∴a＞0，
∴关于x 的方程ax2﹣cx+b＝0 是一元二次方程，
∵Δ＝（﹣c）2﹣4ab
＝c2﹣4ab
＝（a+b）2﹣4ab
＝（a﹣b）2≥0，
∴方程有两个实数根，
故选：C．
【变式3-2】（2022 春•德阳月考）函数y＝kx﹣b 的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝
0 的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【分析】利用一次函数的性质得k＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4k+4，然后判断△的符合，从而
得到方程根的情况．
【解答】解：由图象可得k＜0，
∵Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4，
∵b2≥0，
∴b2+4＞0，
∵﹣4k＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【变式3-3】（2022•咸安区模拟）已知不等式组{
x−a＞0
1
2 x−3＜1有3 个整数解，则关于x 的方程ax2+（2a﹣
1）x+a＝0 根的情况为（ ）
A．无法判断
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
【分析】先解不等式组得到a＜x＜8，再利用不等式组有3 个整数解得到4≤a＜8，对于一元二次方程
ax2+（2a﹣1）x+a＝0，计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4a+1，利用a 的范围可判断Δ＜0，然后根据根
的判别式的意义可判断方程根的情况．
【解答】解：{
x−a＞0 ①
1
2 x−3＜1 ②，
解①得x＞a，
解②得x＜8，
∵不等式组有解，
∴a＜x＜8，
∵不等式组有3 个整数解，
∴4≤a＜8，
∵a≠0，
∴方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0 为一元二次方程，
∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＝﹣4a+1，
而4≤＜8，
∴Δ＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】
【例4】（2022 春•长丰县期末）关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则
m 的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1
B．m＞0
C．m＜1 且m≠0
D．m＞0 且m≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0 且Δ＝22﹣4×（m﹣1）×2＞0，然后求
出两不等式解集的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0 且Δ＝22﹣4（m﹣1）（﹣1）＞0，
解得m＞0 且m≠1．
故选：D．
【变式4-1】（2022•西平县模拟）若关于x 的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0 有实数根，则k 的取
值范围是（ ）
A．k ≤9
4
B．k ≥9
4
C．k ＞9
4
D．k ＜9
4
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2）≥0，
解得k≤9
4
．
故选：A．
【变式4-2】（2022•滑县模拟）若关于x 的一元二次方程2kx2﹣3√k +1x+1＝0 有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9
B．k＞﹣9 且k≠0
C．k≥﹣1 且k≠0
D．k＞﹣1 且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到
{
2k ≠0
k +1≥0
Δ=(3√k +1)
2−4×2k ＞0
，然后解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得{
2k ≠0
k +1≥0
Δ=(3√k +1)
2−4×2k ＞0
，
解得k≥﹣1 且k≠0，
即k 的取值范围为k≥﹣1 且k≠0．
故选：C．
【变式4-3】（2022•定海区一模）直线y＝x﹣a 不经过第二象限，且关于x 的方程ax2﹣2x+1＝0 有实数解，
则a 的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1
B．o≤a＜1
C．0＜a≤1
D．0＜a＜1
【分析】利用一次函数的性质得到a≥0，再判断Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，从而得到a 的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝x﹣a 不经过第二象限，
∴﹣a≤0，
∴a≥0，
当a＝0 时，关于x 的方程ax2﹣2x+1＝0 是一元一次方程，解为x= 1
2
，
当a＞0 时，关于x 的方程ax2﹣2x+1＝0 是一元二次方程，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，
∴a≤1．
∴0≤a≤1，
故选：A．
【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】
【例5】（2022•合肥模拟）若关于x 的一元二次方程x（x﹣2）＝2mx 有两个相等的实数根，则实数m 的
值为（ ）
A．﹣1
B．0
C．﹣1 或0
D．4 或1
【分析】先把方程化为一般式为x2﹣2（m+1）x＝0，根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4×0
＝0，然后解关于m 的方程即可．
【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2（m+1）x＝0，
根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4×0＝0，
解得m＝﹣1．
故选：A．
【变式5-1】（2022•高新区校级二模）已知一元二次方程a x
2+√b x +1=0有两个相等的实数根，则a，b
的值可能是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣4
B．a＝0，b＝0
C．a＝1，b＝2
D．a＝1，b＝4
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ＝b﹣4a＝0，一元二次方程二次项系数不为
0，可得a≠0，二次根式有意义可得b≥0，即可进行判断．
【解答】解：根据题意，得Δ＝b﹣4a＝0，a≠0，b≥0，
∵b＝﹣4＜0，
故A 选项不符合题意；
∵a＝0，
故B 选项不符合题意；
当a＝1 时，b﹣4a＝0，
解得b＝4，
故C 选项不符合题意，D 选项符合题意，
故选：D．
【变式5-2】（2022•江夏区模拟）已知关于x 的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+ 1
4 =0 有两个相等的实数根，
则代数式a2﹣2a+1+ 1
a
的值（ ）
A．.﹣3
B．.3
C．2
D．﹣2
【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3a﹣1≠0 且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）× 1
4 =0，则
a2﹣3a+1＝0，再将a2＝3a﹣1 代入代数式得到a+ 1
a，通分后得到a
2+1
a
，再代入a2+1＝3a 计算即可．
【解答】解：根据题意得3a﹣1≠0 且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）× 1
4 =0，即a2﹣3a+1＝0，
∴a2＝3a﹣1，
所以原式＝3a﹣1﹣2a+1+ 1
a =a+ 1
a = a
2+1
a
= 3a
a =3．
故选：B．
【变式5-3】（2022 春•余杭区月考）若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
且满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b＝a
B．c＝2a
C．a（x+2）2＝0
D．﹣a（x﹣2）2＝0
【分析】由一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0 可得出x＝﹣2 是方程ax2+bx+c＝0 的
解，进而可得出a（x+2）2＝0（a≠0），此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，
∴x＝﹣2 是方程ax2+bx+c＝0 的解，
又∵有两个相等的实数根，
∴a（x+2）2＝0（a≠0）．
故选：C．
【题型6 根的判别式与新定义的综合】
【例6】（2022•烟台一模）定义新运算a⋆b，对于任意实数a，b 满足a⋆b﹣（a+b）（a﹣b）﹣2．例如
3⋆2＝（3+2）（3﹣2）﹣2＝5﹣2＝1，若x
（
⋆
2x﹣1）＝﹣3 是关于x 的方程，则它的根的情况是（
）
A．有一个实根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【分析】先根据新运算得到[x+（2x﹣1）][x﹣（2x﹣1）]﹣2＝﹣3，再把方程化为一般式得到3x2﹣4x＝
0，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵x （
⋆
2x﹣1）＝﹣3，
∴[x+（2x﹣1）][x﹣（2x﹣1）]﹣2＝﹣3，
整理得3x2﹣4x＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×0＝16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【变式6-1】（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．
若关于x 的方程a※x＝0 有实数根，则a 的取值范围为（ ）
A．﹣1≤a≤0
B．﹣1≤a＜0
C．a≥0 或a≤﹣1
D．a＞0 或a≤﹣1
【分析】根据新定义运算法则列出关于x 的方程，根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，
当a＝0 时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；
当a≠0 时，
∵关于x 的方程a※x＝0 有实数根，
∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，
解得a≤﹣1 或a＞0．
故选：D．
【变式6-2】（2022•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q 有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，
其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x 的方程
（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k≤5
4
且k≠0
B．k≤5
4
C．k＜5
4
且k≠0
D．k≥5
4
【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定
义和判别式的意义得到k≠0 且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0 且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，
解得k≤5
4
且k≠0．
故选：A．
【变式6-3】（2022•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其
中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k
为实数）是关于x 的方程，则方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k 为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，
再计算判别式的值得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，
∴关于x 的方程x*k＝xk（k 为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，
整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝5k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】
【例7】（2021 秋•瓦房店市期末）已知关于x 的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m 为什么实
数，这个方程总有两个不相等实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝4（m﹣1）2+4＞0，即可证得结论．
【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×2×（m﹣1）＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2+4，
∵4（m﹣1）2≥0，
∴4（m﹣1）2+4＞0，
∴Δ＞0，
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
【变式7-1】（2021 秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0 的一个根为2．
（1）求q 关于p 的关系式；
（2）求证：方程x2+px+q＝0 有两个不等的实数根．
【分析】（1）把x＝2 代入方程x2+px+q+1＝0 可得到p、q 的关系式；
（2）先计算根的判别式得到Δ＝p2﹣4q，再消去q 得到Δ＝p2+8p+20，然后利用配方法证明Δ＞0，从
而得到结论．
【解答】（1）解：把x＝2 代入原式得4+2p+q+1＝0，
所以q＝﹣2p﹣5；
（2）证明：∵Δ＝p2﹣4q＝p2﹣4（﹣2p﹣5）
＝p2+8p+20
＝p2+8p+16+4
＝（p+4）2+4，
而（p+4）2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【变式7-2】（2021 秋•方城县期末）已知关于x 的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，其中p 为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试写出三个p 的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到Δ＝4p2+9，则可判断Δ＞0，然后根据
根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到x= 5±√4 p
2+9
2
，由于一元二次方程有整数解，则√4 p
2+9可以为3 或5 或7
等，然后分别计算出对应的p 的值即可．
【解答】（1）证明：原方程整理为：x2﹣5x+4﹣p2＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4（4﹣p2）
＝4p2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：x= −b±√b
2−4 ac
2a
= 5±√4 p
2+9
2
，
∵一元二次方程有整数解，
∴√4 p
2+9
可以为3 或5 或7 等，
当√4 p
2+9=
3 时，p＝0；
当√4 p
2+9=
5 时，p＝2；
当√4 p
2+9=
7 时，p=√10．
【变式7-3】（2022•东城区校级模拟）已知关于x 的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．
（1）求证：当n＝m﹣2 时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n 的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，m≠0Δ＝n2﹣4m×（﹣2）＝n2+8m＝0，
即：n2＝﹣8m．
以下答案不唯一，如：
当n＝4，m＝﹣2 时，方程为x2﹣2x+1＝0．
解得x1＝x2＝1．
【题型8 根的判别式与三角形的综合】
【例8】（2022•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b 是关于x 的一元二次方程x2
﹣4x+m＝0 的两个根，则满足上述条件的m 的值有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．3 个以上
【分析】分a＝b 及a≠b 两种情况考虑，当a＝b 时，由方程有两个相等的实数根，可得出Δ＝0，解之
即可得出m 的值；当a≠b 时，可得出x＝3 是关于x 的一元二次方程x2﹣4x+m＝0 的一个实数根，代入
x＝3 即可求出m 的值，综上，即可得出结论．
【解答】解：当a＝b 时，关于x 的一元二次方程x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0，
∴m＝4；
当a≠b 时，x＝3 是关于x 的一元二次方程x2﹣4x+m＝0 的一个实数根，
∴32﹣4×3+m＝0，
∴m＝3．
综上，m 的值为4 或3，
即满足上述条件的m 的值有2 个．
故选：B．
【变式8-1】（2022 春•温州期中）等腰三角形ABC 的三条边长分别为4，a，b，若关于x 的一元二次方程
x2+（a+2）x+6﹣a＝0 有两个相等的实数根，则△ABC 的周长是 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定
等腰三角形的三边长，即可求得其周长．
【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，
解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，
在等腰△ABC 中，
①4 为底时，则b＝a＝2，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②4 为腰时，b＝4，
∵2+4＞4，
∴能组成三角形，
∴△ABC 的周长＝4+4+2＝10．
综上可知，△ABC 的周长是10．
故答案为：10．
【变式8-2】（2022 春•宁波期中）已知：关于x 的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC 为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC 的周长．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5 时，解
得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5 时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别
为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x= 2m±2
2
=m±1，
∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，
当m+1＝5 时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC 的周长为5+5+3＝13；
当m﹣1＝5 时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC 的周长为5+5+7＝17；
综上所述，△ABC 的周长为13 或17．
【变式8-3】（2021 秋•揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a＝6，b 与c 是方程x2﹣
（3m+1）x+2m2+2m＝0 的两根，求此三角形的周长．
【分析】分a 为腰及a 为底两种情况考虑：①若a＝6 是三角形的腰，将x＝6 代入原方程可求出m 的值，
将m 的值代入原方程，解之即可得出b，c 的值，结合三角形的周长计算公式，即可求出此三角形的周
长；②若a＝6 是三角形的底边，利用根的判别式Δ＝0，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可
求出m 的值，将m 的值代入原方程，解之即可得出b，c 的值，利用三角形的三边关系可得出此情况不
符合题意，需舍去．综上即可得出此三角形的周长．
【解答】解：①若a＝6 是三角形的腰，则b 与c 中至少有一边长为6．
将x＝6 代入原方程得：62﹣（3m+1）×6+2m2+2m＝0，
解得：m1＝3，m2＝5．
当m＝3 时，原方程可化为x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
∴此时三角形三边长分别为4，6，6，
∴三角形的周长为4+6+6＝16；
当m＝5 时，原方程可化为x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10，
此时三角形三边长分别为6，6，10，
∴三角形的周长为6+6+10＝22．
②若a＝6 是三角形的底边，则b、c 为腰且b＝c，即方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4×1×（2m2+2m）＝0，
解得：m1＝m2＝1，
∴原方程可化为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4＜6，
∴不能构成三角形，舍去．
综上所述，此三角形的周长为16 或22．
