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第28 章 锐角三角函数 B 卷
满分120 分
一、单选题
1. ( 3 分 ) 已知一个等腰三角形内角的度数之比为1：4，则它的顶角的度数为( )
A. 20
B. 36
C. 120
D. 20
或120
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x 时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x 时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故答案为：D．
【分析】设两内角的度数为x、4x，由于等腰三角形的顶角可以是锐角，直角，或钝角，故需要分类讨论：
①当等腰三角形的顶角为x 时，②当等腰三角形的顶角为4x 时，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的
内角和等于180°，分别列出方程求解即可。
2. ( 3 分 ) cos30°=（ ）
A. 1
2
B. √2
2
C. √3
2
D. √3
【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解。
【解答】cos30°=√3
2
．
故选C.
3. ( 3 分 ) 在Rt
ABC
△
中，各边都扩大5 倍，则锐角A 的正切函数值（ ）
A. 不变 B. 扩大5 倍
C. 缩小5 倍
D. 不能确定
【答案】 A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5 倍后，锐有A 的各
三角函数值没有变化.
故答案为：A.
【分析】根据tanA=
可知，各边的长度都扩大5 倍后，锐有A 的各三角函数值没有变化.
4. ( 3 分 ) 若锐角α 满足sinα＞ 1
2
，且cosα＞ 1
2
，则α 的范围是（ ）
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜60° C. 60°＜α＜90° D. 45°＜α＜90°
【答案】 B
【考点】锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由正弦函数随角的增大而增大，余弦函数随角的增大而减小，得
30°＜α＜60°，
故选：B．
【分析】根据特殊角三角函数值，锐角函数的增减性，可得答案．
5. ( 3 分 ) 如图，市政府准备修建一座高AB＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角
∠ACB 的正弦值为 3
5
，则坡面AC 的长度为（ ）m．
A. 10 B. 8 C. 6 D. 6 √3
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为 3
5
，
sinC
∴
＝ AB
AC
＝ 3
5
，
则 6
AC
＝ 3
5
，
解得：AC＝10，
则坡面AC 的长度为10m．
故答案为：A．
【分析】在Rt
ABC
△
中，根据∠ACB 的正弦值解直角三角形即可得到AC 的长度。
6. ( 3 分 ) 如图， AC 垂直于 AB ，P 为线段 AC 上的动点，F 为 PD 的中点， AC =2.8 m ，
PD =2.4 m ， CF =1.2m ，
.若
，
，则 AP 的长约为
（ ）（参考数据：
，
）
A. 1.2 B. 1.3 m C. 1.5 m D. 2.0 m
【答案】 B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点F 作FG AC
⊥
于点G，
根据题意可知：∠BEP=90°，∠B=65°，
AC AB
⊥
∵
A=90°
∴∠
，
EPA=360°-90°-90°-65°=115°
∴∠
，
DPE=15°
∵∠
，
APD=130°
∴∠
，
CPF=50°
∴∠
，
F
∵为PD 的中点，
DF=PF=
∴
1
2
PD=1.2，
CF=PF=1.2
∴
，
CP=2PG=2×PF•cos50°≈2×1.2×0.64≈1.54
∴
，
AP=AC-PC=2.8-1.54≈1.3
∴
（m）.
故答案为：B.
【分析】过点F 作FG AC
⊥
于点G，先得到∠CPF=50°，由F 为PD 的中点，得到DF=PF= 1
2
PD=1.2，最
后由CP=2PG 就可以得到.
7. ( 3 分 ) 已知β 为锐角,且tan β=3.387,则β 约等于( )
A. 73°33' B. 73°27' C. 16°27' D. 16°21'
【答案】 A
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
8. ( 3 分 ) 如图，电信部门要在公路l 旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N
的距离必须相等，则发射塔应该建（ ）
A. A 处 B. B 处
C. C 处
D. D 处
【答案】 C
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN 的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C 处，
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质即可判断.
9. ( 3 分 ) 若
， 则a，b 的值分别为（ ）
A. ﹣1
2
， 1
2
B. 1
2
， 1
2
C. ﹣1
2
， ﹣1
2
D. 1
2
， -1
2
【答案】 A
【考点】完全平方公式及运用，偶次幂的非负性
【解析】【分析】将原式配成两个完全平方式，从而根据完全平方的非负性即可得出答案．
【解答】原式可化为：(a2+2ab+b2)+(b2-b+1
4
)=（a+b)2+（b﹣1
2
)2=0，
由平方的非负性可得：a+b=0,b-1
2
=0,解得a=-1
2
， b=1
2
．
故选A．
【点评】本题考查完全平方式的知识，比较简单，关键是将式子配方后运用非负性解答．
10. ( 3 分 ) 如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，
于点 D ，连接 AP ，
设
，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【考点】圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，二次函数的实际应用-几
何问题
【解析】【解答】解：设圆的半径为 R ，连接 PB ，
则
，
，即 AC 是圆的切线，则
，
则
则
图象为开口向下的抛物线。
故答案为： C 。
【分析】设圆的半径为 R ，连接 PB ，根据直径所对的圆周角是直角得出∠APB=90°，根据正弦函数
的定义得
，根据同角的余角相等得出
， 根据等角的同名三角
函数值相等及正弦函数的定义得出
， 从而即可建立出y 与x 的函数关系式，
根据所得函数的图象即可解决问题。
二、填空题
11. ( 4 分 ) 在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 A(4,3) ，如果 AO 与 y 轴正半轴的夹角为
伪 ，那么
________.
【答案】 3
5
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图：过点A 作AB y
⊥轴于点B，
A
∵（4，3），
OB=3
∴
，AB=4，
∴由勾股定理可知：OA=5，
cosα=
∴
OB
OA = 3
5
，
故答案为： 3
5
【分析】根据点A 的坐标，可知，OB=3,AB=4,OA=5，由锐角的余弦三角函数的定义，即可求解.
12. ( 4 分 ) 计算：（ √2 +1）0
2
1+
﹣﹣
√27
6sin60°=________
﹣
．
【答案】 1
2
【考点】实数的运算，0 指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=1
﹣1
2 +3 √3
6×
﹣
√3
2
=1
﹣1
2 +3 √3
3
﹣
√3= 1
2 ．故答案为 1
2 ．【分
析】根据特殊角的三角形函数值、负整数指数幂和零指数幂得到原式=1
﹣1
2 +3 √3
6×
﹣
√3
2
，再进行
乘法运算后合并即可．
13. ( 4 分 ) 如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC
⊥
，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB= 4
5
，那么
=________.
【答案】 10
【考点】平行四边形的性质，解直角三角形
【解析】【解答】在△ABE 中，AE BC
⊥
，AB=5，sinB= AE
AB = 4
5
，
AE=4
∴
，
BE=
∴
√A B
2−A E
2 =3，
CE=BC-BE=8-3=5
∴
，
S
∴
CDE
△
= 1
2
CE•AE= 1
2
×5×4=10；
故答案为：10．
【分析】首先由已知条件和勾股定理计算CE=5，所以CD=AB，进而得到∠CDE= CED= ADE
∠
∠
，所以
tan CDE=tan ADE
∠
∠
，于是得到结论．
14. ( 4 分 ) 如图，在长方形纸片 ABCD 中， AB =12 ， BC =5 ，点 E 在 AB 上，将
沿
DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点
处，则 AE 的长为________.
【答案】 10
3
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∵四边形ABCD 是矩形，且AB=12，BC=5，
AD=5
∴
，∠A=90°，
BD=
∴
√12
2+5
2 =13，
根据折叠可得：AD=A′D=5，∠DA'E=90°，
A′B=13-5=8
∴
，
设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，
在Rt
A′EB
△
中：（12-x）2=x2+82 ，
解得：x= 10
3
.
故答案为： 10
3
.
【分析】在直角三角形ABD 中，用勾股定理可求得BD 的值，由折叠的性质可得AD=A′D，根据
A′B=BD-A′D 得出A'B 的长，设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，在Rt
A′EB
△
中，用勾股定理可得关于x 的方
程，解方程可求解.
15. ( 4 分 ) 如图1，点P 从△ABC 的顶点A 出发，沿A
B
C
﹣﹣
匀速运动，到点C 停止运动.点P 运动时，
线段AP 的长度y 与运动时间x 的函数关系如图2 所示，其中D 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是
________.
【答案】 12
【考点】勾股定理，通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：根据图象可知，点P 在AB 上运动时，此时AP 不断增大，
由图象可知：点P 从A 向B 运动时，AP 的最大值为5，即AB=5，
点P 从B 向C 运动时，AP 的最小值为4，即当AP BC
⊥
时，AP=4，即BC 边上的高为4，
∴当AP BC
⊥
，AP=4，
此时，由勾股定理可知：BP=3，
由图象可以得到曲线部分是轴对称图形，∴PC=3，∴BC=6，
ABC
∴△
的面积为： 1
2 脳4 脳6=12 ，
故答案为：12.
【分析】当P 点在AB 上时，AP 长度逐渐增大，结合图象可得AB=5，当P 点从B 到C 运动时，AP 长度先
逐渐减小，当AP BC
⊥
时，AP 最短，而后AP 逐渐增大，从图象可得当AP BC
⊥
时，此时AP=4，AC=5.则
等腰△ABC 面积可求.
16. ( 4 分 ) 反比例函数y＝ 1−3m
x
，当x＜0 时，y 随x 的增大而增大.那么m 的取值范围是________.
【答案】 m＞ 1
3
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝ 1−3m
x
，当x＜0 时，y 随x 的增大而增大，
1
3m
∴﹣
＜0，
m
∴＞ 1
3
.
故答案为：m＞ 1
3
.
【分析】由题意根据反比例函数y＝ k
x
（k≠0）的性质可得到1
3m
﹣
＜0，然后解不等式即可.
17. ( 4 分 ) 如图，△ABC 是等边三角形，AB＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，E 是AC 的中点，则DE
的长为________．
【答案】 2
【考点】等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵△ABC 是等边三角形，AD 平分∠BAC，
AB
∴
＝AC＝4，BC AD
⊥
，
E
∵
为AC 的中点，
DE
∴
＝ 1
2
AC＝ 1
2
×4＝2，
故答案是：2．
【分析】由等边三角形的性质证得BD＝DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．
18. ( 4 分 ) 如图，在菱形ABCD 中，BD 为对角线，点N 为BC 边上一点，连接AN，交BD 于点L，点R
为CD 边上一点，连接AR、LR，若tan BLN=2
∠
，∠ARL=45°，AR=10 √2 ，CR=10，则AL=________ 。
【答案】 5√17
2
【考点】菱形的性质，圆周角定理，解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC，CL，过点A 作AG RL
⊥
于点G，连接CG，AG
ARG=45°
∵∠
，∠AGR=90°，
AGR= RAG=45°
∴∠
∠
AG=RG
∴
，
AG=ARsin ARG=ARsin45°=
∠
10√2 脳√2
2 =10
AG=RG=CR=10;
∴
ABCD
∵
是菱形，
AC BD
∴
⊥
，∠AOD= AGL=90°
∠
，AO=CO
A
∴、O、G、L 四点共圆，
AGO= ALE= BLN
∴∠
∠
∠
取AR，AG 的中点F 和点K，连接KF，KO，OG，FO，延长FK，GO，交于点H，
KF
∴
是△ARG 的中位线，
KF=
∴
1
2
RG=1
2
×10=5，FG=1
2
AG=5，FK RG
∥
，
AG
RG
∵
⊥
，
HFG=90°
∴∠
∵点O 是AC 的中点，点K 时AR 的中点，
KO
∴
是△ARC 的中位线，
KO=
∴
1
2
RC=1
2
×10=5=KF，
在Rt
HFG
△
中，tan FGH=
∠
FH
FG = FH
5 =2
解之：FH=10，
KH=OK=KF
∴
HFO
∴△
是直角三角形，∠HOF=90°，
FOG=90°
∴∠
tan FGO=
∠
FO
OG =2
在Rt
FOG
△
中，设FO=2x，则OG=x，FG=5
4x
∴
2+x2=25
解之：OG=x=√5 ， 则FO=2x=2√5 ，
∵点F 是AG 的中点，点O 是AC 的中点，
OF
∴
是△ACL 的中位线，
CG=2OF=
∴∴
4√5 ， OF CL
∥
在Rt
CGO
△
中
CO2=GO2+CG2
∴AO =CO =√(√5)
2+(4√5)
2=√85
在Rt
AOL
△
中
tan ALD=
∠
AO
LO = √85
LO =2 ，
解之：LO=√85
2
∴AL=√A O
2+ LO
2=√
(√85)
2+(
√85
2 )
2
= 5√17
2
故答案为：5√17
2
.
【分析】连接AC，CL，过点A 作AG RL
⊥
于点G，连接CG，AG，利用等腰直角三角形的性质及解直角
三角形，可证得AG=RG=CR=10，利用菱形的性质，可得到AC BD
⊥
，∠AOD= AGL=90°
∠
，AO=CO，由
此可证得A、O、G、L 四点共圆，利用圆周角定理可证得∠AGO= ALE= BLN
∠
∠
；取AR，AG 的中点F 和
点K，连接KF，KO，OG，FO，延长FK，GO，交于点H，易证KF 是△ARG 的中位线，KO 是△ARC 的
中位线，可证得FK RG
∥
，同时可以求出KF，FG，KO，KF 的长，在Rt
HFG
△
中，利用解直角三角形求出
FH 的长，再利用三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形，可证得△HFO 是直
角三角形，利用解直角三角形可得到FO 与OG 的比值，在Rt
FOG
△
中，设FO=2x，则OG=x，FG=5 ，利
用勾股定理求出OG，FO 的长，再利用三角形中位线定理求出CG 的长，在Rt
CGO
△
中，利用解直角三角
形求出LO 的长，然后在Rt
ALO
△
中，利用勾股定理求出AL 的长。
三、解答题
19. ( 6 分 ) 周末，小强在文化广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为
58°，已知风筝线BC 的长为10 米，小强的身高AB 为1.55 米．请你帮小强画出测量示意图，并计算出风
筝离地面的高度（结果精确到0.1 米）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
]
【答案】 解：如图，过点C 作地面的垂线CD，垂足为D，过点B 作BE CD
⊥
于E．
在Rt
CEB
△
中，∵sin CBE=
∠
CE
BC
，
CE=BC•sin58°=10×0.85≈8.5m
∴
，
CD=CE+ED=8.5+1.55=10.05≈10.1m
∴
，
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意画出图形，根据sin58°= CE
BC
可求出CE 的长，再根据CD=CE+ED 即可得出
20. ( 6 分 ) 2015 年4 月25 日14 时11 分，尼泊尔发生8.1 级地震，震源深度20 千米．中国救援队火速赶往
灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB 相距2
米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C 与探测面的距离．（参考数据
√2 ≈1.41， √3 ≈1.73）
【答案】 解：过C 作CD AB
⊥
，
设CD=x 米，
ABE=45°
∵∠
，
CBD=45°
∴∠
，
DB=CD=x
∴
米，
CAD=30°
∵∠
，
AD=
∴
√3 CD= √3 x 米，
AB
∵
相距2 米，
∴√3 x
x=2
﹣
，
解得：x=
．
答：命所在点C 与探测面的距离是
米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】首先过C 作CD AB
⊥
，设CD=x 米，则DB=CD=x 米，AD= √3 CD= √3 x 米，再根据
AB 相距2 米可得方程 √3 x
x=2
﹣
，再解即可．
21. ( 6 分 ) 在一次“数学实践”活动中，小明沿一条南北公路向北行走，在A 处，他测得左边建筑物C 在
北偏西30°方向，右边建筑物D 在北偏东30°方向；从A 处向北40 米行至B 处，他又测得左边建筑物C 在
北偏西60°方向，右边建筑物D 在北偏东45°方向.请根据以上数据求两建筑物C、D 到这条南北公路的距离.
（参考数据：
，
.结果精确到0.1 米）
【答案】 解：设C、D 距公路的距离为a、b 米.
由题意，
，
.
解得
，
.
答：C、D 距公路的距离为34.6 米、54.6 米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C 作CE AB
⊥
于点E，过点D 作DF AB
⊥
于点F，分别求出AE、AF 的长度，继而根
据AB=40 米，可得出方程，解出即可.
22. ( 6 分 ) 已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求a+b+x2
cdx
﹣
．
【答案】 解：∵a，b 互为相反数，
a+b=0
∴
，
c
∵，d 互为倒数，
cd=1
∴
，
|x|=1
∵
，∴x=±1，
当x=1 时，
a+b+x2
cdx=0+
﹣
（±1）2
1×1=0
﹣
；
当x=
1
﹣时，
a+b+x2+cdx=0+（±1）2
1×
﹣
（﹣1）=2．
【考点】有理数的倒数
【解析】【分析】根据相反数，绝对值，倒数的概念和性质求得a 与b，c 与d 及x 的关系或值后，代入代
数式求值．
23. ( 10 分 ) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A、B 坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD 在于x
轴上，CD＝3
2
， 点C 从原点出发沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度向右平移，点D 随着点C 同时同速
同方向运动，过点D 作x 轴的垂线交线段AB 于点E、交OA 于点G，连结CE 交OA 于点F．设运动时间
为t，当E 点到达A 点时，停止所有运动．
（1）求线段CE 的长；
（2）记S 为RtΔCDE 与ΔABO 的重叠部分面积，试写出S 关于t 的函数关系式及t 的取值范围；
（3）连结DF，
①当t 取何值时，有DF=CD?
②直接写出ΔCDF 的外接圆与OA 相切时t 的值.
【答案】 解：（1）∵在Rt
CDE
△
中，CD=3
2
， DE=2，
CE=
∴
√C D
2+ D E
2=5
2
；
（2）如图1，作FH CD
⊥
于H．
AB OD
∵
∥
，DE OD
⊥
，OB OD
⊥
，
∴四边形ODEB 是矩形，
BE=OD
∴
，
OC=t
∵
，
BE=OD=OC+CD=t+
∴
3
2
，
AE=AB
BE=4
∴
﹣
﹣（t+3
2
）=5
2
t
﹣，
AB OD
∵
∥
，
OCF
AEF
∴△
△
∽
，△ODG
AEG
∽△
，
∴
，
,
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴
EF +CF
CF
= 5
2t ，
，
CF=t
∴
，EG=5−2t
4
，
EF=CE
CF=5
t
∴
﹣
﹣，
FH ED
∵
∥
，
∴HD
CD = EF
CE
， 即HD= EF
CE
•CD=3
5
（5
2
t
﹣），
S=
∴
1
2
EG•HD=1
2
×5−2t
4
×3
5
（5
2
t
﹣）= 3
20
（5
2
t
﹣）2 ，
t 的取值范围为：0≤t≤5
2
；
（3）①由（2）知CF=t，
如图2，当DF=CD 时，如图作DK CF
⊥
于K，
则CK=1
2
CF=1
2
t，
CK=CDcos DCE
∵
∠
，
∴1
2
t=3×3
5
，
解得：t=18
5
；
∴当t=18
5
时，DF=CD；
②∵点A，B 坐标分别为（8，4），（0，4），
AB=8
∴
，OB=4，
OA=
∴
√A B
2+O B
2= 4√5
，
∵由（2）知HD=3
5
（5
t
﹣），
OH=t+3
∴
﹣3
5
（5
t
﹣）=8
5 t ，
A+ AOB= AOD+ AOB=90°
∵∠
∠
∠
∠
，
A= AOD
∴∠
∠
，
Rt
AOB Rt
OFH
∴
△
△
∽
，
∴OH
AB = OF
OA
，
解得OF=4√5
5
t ，
∵当△CDF 的外接圆与OA 相切时，则OF 为切线，OD 为割线，
OF
∴
2=OC•OD，即（4√5
5
t）2=t（t+3），得t=15
11 ．
【考点】勾股定理，矩形的判定与性质，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）直接根据勾股定理求出CE 的长即可；
（2）作FH CD
⊥
于H．，由AB OD
∥
，DE OD
⊥
，OB OD
⊥
可知四边形ODEB 是矩形，故可用t 表示出AE
及BE 的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF
AEF
∽△
，△ODG
AEG
∽△
，由相似三角形的性质可用t
表示出CF 及EG 的长，FH ED
∥
可求出HD 的长，由三角形的面积公式可求出S 与t 的关系式；
（3）①由（2）知CF=t，当DF=CD 时，作DK CF
⊥
于K，则CK=1
2
CF=1
2
t，CK=CDcos DCE
∠
，由此可得
出t 的值；
②先根据勾股定理求出OA 的长，由（2）知HD=3
5
（5
t
﹣），由相似三角形的判定定理得出
Rt
AOB Rt
OFH
△
△
∽
，可用t 表示出OF 的长，因为当△CDF 的外接圆与OA 相切时，则OF 为切线，OD 为
割线，由切割线定理可知OF2=OC•OD，故可得出结论．
四、综合题
24. ( 12 分 ) 如图，⊙O 的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ， 过点D 作DE AB
∥
交
CA 的延长线于点E ， 连接AD ， BD ．
（1）由AB ， BD ，
围成的曲边三角形的面积是________；
（2）求证：DE 是⊙O 的切线；
（3）求线段DE 的长．
【答案】 （1）25
2 + 25 蟺
4
（2）证明：由（1）知∠AOD=90°，即OD AB
⊥
．
DE AB
∵
∥
，∴OD DE
⊥
，
DE
∴
是⊙O 的切线；
（3）解：∵AB=10、AC=6，∴BC=
=8． 过点A 作AF DE
⊥
于点F，
则四边形AODF 是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°
CAB= ABC
﹣∠
∠
，
tan EAF=tan CBA
∴
∠
∠
，
∴EF
AF = AC
BC
，即 EF
5 = 6
8
， ∴EF= 15
4
，
DE=DF+EF=
∴
15
4
+5= 35
4
．
【考点】勾股定理，切线的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）如图，连接OD ．
∵AB 是直径，且AB=10，
∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5．
∵CD 平分∠ACB ， ∴∠ABD=∠ACD= 1
2
∠ACB=45°，
∴∠AOD=90°，则曲边三角形的面积是
S 扇形AOD+S△BOD= 90 蟺脳5
2
360
+ 1
2 ×5×5= 25
2 + 25 蟺
4
．
故答案为 25
2 + 25 蟺
4
；
【分析】（1）连接OD ， 由AB 是直径知∠ACB=90°，结合CD 平分∠ACB 知∠ABD=∠ACD=45°，从而
知∠AOD=90°，根据曲边三角形的面积=S 扇形AOD+S△BOD 可得答案；
（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB ， 根据DE∥AB 可得OD⊥DE ， 即可得证；
（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE 知四边形AODF 是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣
∠CAB=∠ABC 知tan∠EAF=tan∠CBA ， 即 EF
AF = AC
BC
，求得EF 的长即可得．
25. ( 12 分 ) 如图，已知△ABC 是边长为3cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从A、B 两点出发，分别沿
AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P 到达点B 时，P、Q 两点停止运动，设点P 的运动
时间为t（s），
则：
（1）BP = ________cm，BQ = ________cm．（用含t 的代数式表示）
（2）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？
【答案】 （1）3-t；t
（2）解：①若点P 为直角顶点，因为
，所以
所以 BQ =2BP 即t=2(3-t), 解得t=2
②若点Q 是直角顶点，∵
，∴
∴BP =2BQ 即3-t=2t, 解得t=1
答：当t=1s 或t=2s 时，△PBQ 是直角三角形
【考点】等边三角形的性质，含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）
cm, BQ =t cm
在 △PBQ 中，
若△PBQ 是直角三角形，则点P 或点Q
为直角顶点
【分析】（1）根据路程=速度×时间填空即可。（2）由题意分两种情况：① 若点P 为直角顶点，因为
，所以
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得t=2(3-t), 解得t=2.②若点
Q 是直角顶点，由
，可得
， 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得3-
t=2t, 解得t=1.从而得出答案。
