文档文本内容
1
一次函数与存在性（6）矩形【题集B】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，矩形
的顶点
与坐标轴原点
重合，
、
边分别放在轴，轴上；其中，
，
；将矩形
绕点
顺时针旋转
得矩形
，连接
、
；
直线
交轴于点
，交
于
．
x
y
O
填空：矩形
的面积为 ，直线
的解析式为 ．
在直线
上有动点
，在坐标平面内是否存在动点
，使以
、
、
、
为顶点的四边
形为矩形？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
存在．
、
、
或
．理由见解析．
∵
，
，
∴
，
∴
．
∴
，
．
∴
．
∵
且
则
，
联立
，得
，
∴
．
①当
为矩形的边时，若
在
处，则过
作
的垂线，垂足为
，
矩形
2
【标注】
x
y
O
此时
．
②当
为矩形的边时，若
在
处，则过
作
的垂线，垂足为
，
x
y
O
此时
．
③当
为矩形的对角线时，则找到
上一点
使
即可．
设
，
则
即
，
解得：
或
，
则
或
.
又
的中点
与
中点相同，
或
．
综上：
、
、
或
．
【知识点】一次函数与平行四边形
2. 综合与探究：如图，直线
与轴交于点
，与轴交于点
，点
从点
出发以每秒个
单位长度的速度沿
边向终点
运动，同时点
以相同的速度从坐标原点
出发沿
边向终点
运
动，设点
运动的时间为秒．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
【解析】
求点
，
的坐标．
设
的面积为，求与运动时间之间的函数关系式．
在点
，
运动的过程中，是否存在点
，使得以点
，
，
，
为顶点的四边形是矩形？
若存在，求的值并直接写出点
的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
存在，点
的坐标分别为
，
，
．
对于直线
，
令
，得到
．令
，得到
，
∴
，
．
如图所示，过
作
轴于
，
由题意得：
，
由题意得：
，
，
在
中，
，
根据勾股定理得：
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
当
时，
．
当
时，点
与点
重合，
，
，
∴
，
综上，与的函数解析式为
．
存在以点
，
，
，
为顶点的四边形是矩形，
4
图
图
【标注】
①如图所示，当
时，
，
由（）得：
，
即
，
解得：
，此时
坐标为
．
②如果
，
∵
为锐角，
，
∴不成立，
．
③如果
，当
与
重合时，
，此时
坐标为
，
当
时，如图所示，过
作
轴于点
，
由①得：
，同理得，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
解得：
，此时
坐标为
，
综上所述，当的值为，
，
时，以点
，
，
，
为顶点的四边形是矩形，点
的坐标分别为
，
，
．
【知识点】一次函数与面积
3. 已知：如图，在直角梯形
中，
，以
为原点建立平面直角坐标系，
、
、
三点
的坐标分别为
，
，
，点
为线段
的中点，动点
从点
出发，以每秒个
单位的速度，沿折线
的路线移动，移动的时间为秒．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
此图备用
求直线
的解析式．
若动点
在线段
上移动，为何值时，四边形
的面积是梯形
面积的
？
动点
从点
出发，沿折线
的路线移动的过程中，设
的面积为，请直接写出
与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
当动点
在线段
上移动时，能否在线段
上找到一点
，使四边形
为矩形？若
能，请求出此时动点
的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
直线
的解析式为
．
．
不能成为矩形，理由见解析．
设直线
的解析式为
，直线过
，
，
，解得
．
解析式为
．
如图，过点
作
轴，垂足为
．
A
B
C
D
P
M
图
，
，
，
6
（3 ）
（4 ）
在
中，
，
，
．
所以
．
梯形
的面积
．
解方程
，解得
．
因此，当
时，四边形
的面积是梯形
面积的
．
如图，① 当
在线段
上时，
，
；
② 如图，当
在线段
上时，
，
；
A
B
C
D
M
P
F
图
③ 如图，当
在线段
上时，
，
．
A
B
C
D
M
P
N
图
故答案为：
四边形
不可能成为矩形．理由如下：
如图，当
时，作
交轴于
．
在
中，
，
．
四边形
梯形
，
，
，
7
【标注】
A
B
C
D
P
Q
图
在
中，
，
．
所以
，因此四边形
不是矩形．
【知识点】一次函数与面积；一次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，
．把
绕
点顺时针旋转
得
，连接
，作
轴
于
，点
的坐标为
．
求直线
的解析式．
若
中点为
，连接
，点
是射线
上的动点，过点
作轴的垂线交轴于点
，设
点
的横坐标为，
的面积为
，求与的函数关系式，并直接写出自变量的
取值范围．
在（）的条件下，动点
在运动过程中，是否存在
点，使以
、
、
、
（
为平面上一
点）为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点
的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
存在，
坐标为
或
或
或
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
．
8
（2 ）
（3 ）
∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∵
，
∴
，
，
∴
．
∴
．
∵
是
的中点，
，
，
∴
，
设直线
的解析式为：
，
把点
，
代入得：
，
解得：
，
，
∴直线
的解析式为：
，
设
的坐标为
，
当
时，
的面积
当
时，
的面积
．
综上，
．
①点
为直线
与
的交点时；
∵
，
∴直线
的解析式为：
，
解方程组
得：
，
∴
；
②作
交
于
，如图所示：
则
，
∵
，
∴
，
设直线
的解析式为：
，
9
【标注】
把点
代入得：
，
∴直线
的解析式为：
，
解方程组
得：
．
∴
；
③当
时，易知
或
，都符合题意；
综上所述：存在
点，使以
、
、
、
（
为平面上一点）为顶点的四边形是矩形，点
坐标为
，或
或
或
．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
