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1
一次函数与线段最值（1）将军饮马【题集B】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，长方形
中，点
的坐标为
，点
、
分别
在坐标轴上，
为
的中点．
在轴上找一点
，使得
最小，则点
的坐标为 ．
在轴上找一点
，使得
最大，取出点
的坐标并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
点坐标
．
由题意可得
关于轴的对称点为
，
设
所在直线解析式为
（
），
将
，
代入得
．
令
，得
．
则
坐标为
．
连接
、
、
，
在
中，
，
当
、
、
共线时，
取到最大值等于
．
．
设过
、
的直线表达式为
，
将
，
代入得：
．
解得：
．
∴
．
令
，得
．
2
【标注】
∴
点坐标
．
【能力】运算能力
【知识点】一次函数与轴对称最值问题
【知识点】一次函数的解析式
【知识点】一次函数与一元一次方程
【知识点】坐标系中的对称-点关于坐标轴对称
【知识点】坐标与距离
2.
【解析】
直线
与轴、轴分别交于点
和点
，点
、
分别为线段
、
的中点，点
为
上一动点，请你在所给的坐标系中准确的画出点
的位置并求出
值最小时点
的坐
标．
【答案】
．
令
中，
，则
，
∴
，
令
，则
，
∴
，
∵
、
分别为线段
、
的中点，
∴
，
，
作
关于轴对称点
，
∴
，
设直线
解析式
，
∴
，
∴
，
3
【标注】
∴
．
令
，则
，
∴
．
【知识点】一次函数与轴对称最值问题
3.
【解析】
【标注】
如图，点
的坐标为
，为使
的周长最短，求的值．
【答案】
．
如图，作
关于直线
的对称点
，连接
与直线
的交点即为点
，可
求直线
解析式为：
，当
时，
．
C
【知识点】一次函数与轴对称最值问题
4
A.
B.
C.
D.
或
4.
【解析】
在平面直角坐标系中，已知
、
，要在坐标轴上找一点
，使得
的周长最小，则
点
的坐标为（ ）．
【答案】B
∵线段
的长度是确定的,
的周长最小就是
的值最小,
,
∴点
在轴上,
如图,作点
关于轴的对称点
,连接
交轴于点
,
∵
,
, ),
设直线
的解析式为
,
,解得
,
∴直线
的解析式为
,
当
时,
,
∴
.
；
如图,作点
关于轴的对称点
,连接
交轴于点
,
∵
,
∴
( ,
),
设直线
的解析式为
,
,解得
,
∴直线
的解析式为
,
当
时,
,
∴
(
, ).
.
，
，
，
，
，
5
【标注】
,
故选.
图
图
【知识点】一次函数与轴对称最值问题
5.
x
–3 –2 –1
1
2
3
4
5
y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
O
【解析】
在平面直角坐标系中，已知点
，点
，点
在轴上．当
最短时，点
的坐标
为 ．
【答案】
作点
关于轴的对称点
，连接
，交轴于
，
则点
即为所求，
∵
，
∴点
关于轴的对称点
，
设直线
的解析式为：
，
∴
，
解得：
，
∴直线
的解析式为：
，
当
时，
，
∴点
的坐标为
．
6
【标注】【知识点】一次函数与轴对称最值问题
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
作图题（不写作法）
已知：如下图所示．
作出
关于轴对称的
，并写出
三个顶点的坐标．
在轴上确定点
，使
最小．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析；
，
，
．
．
如图所示：
∴
，
，
．
作
关于轴的对称点为
，则
，
连接中心
，则直线
与轴交点即为点
，
7
【标注】
设直线
的解析式为
，
将
，
分别代入解析式中得：
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
令
，则
，解得
，
∴直线与轴交点坐标为
，
∴
．
【知识点】一次函数与轴对称最值问题
7.
方法一：
【解析】
直线
与轴，轴分别交于点
和点
，点
、
分别为线段
、
的中点，点
为
上一动点，请你在所给的坐标系中准确的画出当
值最小时点
的位置，并求出此时点
的坐标．
【答案】
．
作点
关于轴的对称点
，连接
交轴于点
，此时
值最小，
如图所示．
令
中
，则
，
∴点
的坐标为
；
令
中
，则
，解得：
，
∴点
的坐标为
．
8
方法二：
【标注】
∵点
、
分别为线段
、
的中点，
∴点
，点
.
∵点
和点
关于轴对称，
∴点
的坐标为
．
设直线
的解析式为
，
∵直线
过点
，
，
∴有
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
．
令
中
，则
，解得：
，
∴点
的坐标为
．
连接
，作点
关于轴的对称点
，连接
交轴于点
，此时
值最
小，如图所示
令
中
，则
，
∴点
的坐标为
；
令
中
，则
，
解得：
，
∴点
的坐标为
．
∵点
、
分别为线段
、
的中点，
∴点
，点
，
轴，
∵点
和点
关于轴对称，
∴点
的坐标为
，点
为线段
的中点．
又∵
，
∴点
为线段
的中点．
∴点
的坐标为
．
【知识点】一次函数与轴对称最值问题
9
8.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，
的直角顶点
在轴的正半轴上，顶点
的坐标为
，点
的坐标为
，点
为斜边
上一动点，则
的最小值为 ，此时点
的坐标
为 ．
【答案】
;
，
∴
，
作
关于
的对称点
，连接
，
与
的交点为
，
∴在等边
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
10
【标注】【知识点】一次函数与轴对称最值问题
