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1
一次函数章节复习：等腰直角三角形存在性 【题集
B1】
1.
【标注】
如图，一次函数
的图象与、轴交于
、
，以
为边在第一象限内作等边
在平面内找一点
，使
是等腰直角三角形，点
的坐标为 ．
x
y
O
【答案】
，
，
，
，
，
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为
，直线与交于点
，与轴交于点
，其中，满足
．
求直线的解析式．
在平面直角坐标系中第二象限有一点
，使得
，请求出点
的坐标．
已知平行于轴左侧有一动直线，分别与，交于点
、
，且点
在点
的下方，点
为
轴上一动点，且
为等腰直角三角形，请求出满足条件的点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
、
、
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
∵
，
，
∴
，
，
∴直线的解析式为
．
，
∴
，
∴
，
点可看做向上或者下平移个单位长度后与
的交点，
得
；
，
得
或
．
设动直线为
，由题可得．
，
则
，
，
，
当
且
，
，解得
，则
;
当
且
，
，解得
，则
;
当
且
，
，解得
，则
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线
交轴于点
，交轴于点
，平行
于轴的直线
交
于点
，交轴于点
，点
是直线
上一动点，且在点
的上方，设
．
求直线
的表达式和点
的坐标．
求
的面积（用含的代数式表示）．
当
时，以
为直角边在第一象限作等腰直角三角形
，直接写出点
的坐
标．
当
时，以
为边在第一象限作等腰直角三角形
，直接写出点
的坐
标．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
，点
．
或
．
或
或
或
．
∵直线
交轴于点
，交轴于点
，
∴
，
∴
，
直线
的解析式是
．
当
时，
，
∴点
．
如图、过点
作
，垂足为
，则有
，
图
∵
时，
，
∵
在点
的上方，
∴
，
∴
；
由点
，可知点
到直线
的距离为，即
的边
上的高长为，
∴
，
∴
．
当
时，
，解得
，
∴点
．
∵
，
∴
，
，
①如图，
，
，
4
（4 ）
图
过点
作
直线
于点
．
则
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
②如图、
，
，
过点
作
轴于点
．
同理可得
≌
．
∴
，
，
∴
，
∴
，
综上所述，以
为直角边在第一象限作等腰直角三角形
，点
的坐标是
或
．
图
如图，在
中，∵
，
，
5
【标注】
图
∴
，
，
由勾股定理得：
，
∵
，
∴
，
，
，
或，
∵
，且
在点
的上方，
∴
或
，
①当
时，如图，
，
，
∴
，
如图，
，
∴
，
②当
时，如图，同理得
，
如图，得
，
综上所述，点
的坐标是
或
或
或
．
图
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
6
【思想】数形结合思想
【思想】分类讨论思想
【知识点】勾股定理
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】一次函数与一元一次方程
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
【知识点】一次函数与面积
【知识点】根据条件写一次函数解析式
【方法】等面积法
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，矩形
位于平面直角坐标系内，
为原点，
、
分别在坐标轴上，
的坐标为
，
线段
上有一动点
，已知点
在第一象限．
是直线
上一点，若
是等腰直角三角形，求点
的坐标．
是直线
上一点，若
是等腰直角三角形．求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
点
的坐标是
．
点的坐标为
或
或
．
如图所示，
7
（2 ）
作
轴于
点，作
轴于
点，可得
，
根据题意可知当
为等腰直角三角形时，只有
满足条件，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
设点
的横坐标为，由
，得
，
∴点
的坐标是
．
由点
在直线
上，分三种情况：
①点
为直角顶点，结合下图可知，此种情况显然不合题意；
8
②点
为直角顶点，分两种情况：
( )点
在矩形
的内部时，如图，过
作轴的平行线
，交直线
于
，交直线
于
，设
；
则
；
，
；
则
≌
，得
，即
，
；
∴
;
( )点
在矩形
的外部时，设
；
则
，
，
；
同( )可知：
≌
，
∴
，即：
，
；
∴
；
③点
为直角顶点，显然此时点
位于矩形
的外部，如图所示：
设点
，则
，
；
易证
≌
，得；
，
；
故
；
联立两个表示
的式子可得
，即
；
∴
．
9
【标注】
综上，存在符合条件的等腰直角三角形且
点的坐标为
或
或
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】一次函数与一元一次方程
【知识点】一次函数与动点问题
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】AAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】矩形的性质
【思想】分类讨论思想
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，在矩形
中，点
为坐标原点，点
的坐标为
，点
、
在坐标轴上，点
在
边
上，直线
，直线
．
x
y
O
分别求直线与轴，直线与
的交点坐标．
已知点
在第一象限，且是直线上的点，若
是等腰直角三角形，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
直线与轴坐标为
，直线与
的交点坐标为
．
，
，
．
直线：当
时，
，
，
则直线与轴坐标为
．
直线：当
时，
，
．
则直线与
的交点坐标为
．
10
（2 ）①若点
为直角顶点时，点
在第一象限，连结
，
如图，
，
图
∴
不可能是等腰直角三角形，
∴点
不存在；
②若点
为直角顶点时，点
在第一象限，如图，
图
过点
作
，交
的延长线于点
，
则
≌
，
∴
，
，
设
，则
，
∴
，
，
∴
．
③若点
为直角顶点时，点
在第一象限，如图，
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【标注】
图
设
，
过点
作
，交
于点
，
则
≌
，
∴
，
∴
，
．
∴
．
设
，
同理可得
，
∴
，
∴
，
综上所述，点
的坐标为
，
，
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
