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一次函数章节复习：直角三角形存在性【题集B3】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
一次函数
的图像与轴，轴分别交于点
，
，
为坐标原点，线段
，
的中点分别为点
，
，点
为直线
上一点．
直接写出
为等腰三角形时
点的坐标．
直接写出
为直角三角形时
点的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
，
，
．
，
，
．
为等腰三角形时，分三种情况讨论；
①当
时，
在
的垂直平分线上，与轴交点即为点
，坐标为（，）；
②当
时，
，以
为圆心，为半圆画弧，与轴交于两点，坐标分别为（
，
），（，
）；
③当
时，以
为圆心，为半径画弧，与轴交于两点，坐标分别为（，
），（，
）；
综上所述：当
为等腰三角形时，点
坐标为（，）或（，
），或（，
），或（，
），或（，
）．
当
为直角三角形时，分三种情况讨论：
①当
为直角顶点时，点
坐标为（，）；
②当点
为直角顶点时，点
坐标为（，）；
③当
为直角顶点时，点
坐标为（，）；
综上所述：当
为直角三角形时，点
坐标为（，），或（，），或（，
）．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
2
【标注】【知识点】一次函数与等腰三角形结合
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知直线
分别交轴、轴于
、
两点．
x
y
O
x
y
O
备用图
求点
、
的坐标以及线段
的中点
的坐标；
已知点
，若
为直角三角形，求的值；
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，，，
．
∵直线
分别交轴、轴于
、
两点，
∴令
，则
，
∴
，
令
，则
，
∴
，∴
，
∴
的中点
，
即：
．
故答案为：
．
如图所示，
x
y
O
①当
时，
∵直线
的解析式为
，
，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
，
②当
时，
3
【标注】
同①的方法得出直线
的解析式为
，
当
时，
，
③当
时，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
由（）知，
的坐标
，
∵
，
∴
，
∴
或
；
即：满足条件的
，，，
．
故答案为：
，，，
．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，直线
交轴于点
，交轴于点
，
为线段
上一个
动点，
为第二象限的一个动点，且满足
，
．
求直线
的函数关系式 ．
若
为直角三角形，试求点
的坐标，并判断点
是否在直线
上．
【答案】（1 ）
（2 ）见解析．
设直线
的函数关系式为：
，
∵点
，点
，
∴
，
解得：
，
∴直线
的函数关系式为：
．
4
（2 ）
【标注】
∵
为直角三角形，
①若
，则点
在轴上，
∵
为第二象限的一个动点，
∴矛盾，
∴
；
②若
，
则
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴矛盾，
∴
；
③若
，设
，
，
∴
，
解得：
，
∴
，
∴点
的坐标为：
，
过点
作
于点
，
∴
，
∴
，
∴点
的坐标为：
；
∵当
时，
，
∴点
在直线
上．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
4. 如图，在坐标系中有直线
，与坐标轴分别交于
、
两点，直线经过点
的点
，且
．
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求直线的解析式．
将直线
沿着直线平移，设平移距离为，是否存在这样的值，使得
为直角三角
形？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
、
，
．
题目求平移距离，平移直线
，会产生
、
两个动点，在分析、求解时均比较麻烦；我
们可以考虑平移点
，因为将
向左上平移个单位长，效果完全等价于将点
向右下平
移个单位长，然而对于分析问题和计算来说，起到了很大的简化作用．考虑为平移点
之
后，题目变换为以
为单动点的直角三角形存在性问题．
解：设直线上有一动点
，∴
，
．
则
，
，
．
依题可得，
不可能为直角顶点．
①
为直角顶点：有
，则
，解得
，即
②
为直角顶点：有
，则
，解得
或
（舍），
即
．
由①②可得，将点
平移到
和
时，均符合题意
∵
，
∴将点
向右下方平移
个单位长度或者
个单位长度，均符合题意．
即直线
向左上方平移时，
或者
，能使得
为直角三角形．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
，
，
，
，
，
