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一次函数章节复习：点圆类新定义【题集C1】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
对于平面直角坐标系
中的点
和⊙
，给出如下定义：若⊙
上存在两个点
，
，使得
，则称
为⊙
的关联点．已知点
，
，
．
当⊙
的半径为时，在点
、
、
中，⊙
的关联点是 ．
当⊙
的半径为时，过点
作直线交轴正半轴于点
，使
，若直线上的点
是⊙
的关联点，求
的取值范围．
若线段
上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
．
这个圆的半径的取值范围为
．
、
，如图．
由题意可知，若
要刚好是圆
的关联点，
需要点
到圆
的两条切线
和
之间所夹的角为
，
由图可知
，则
，
连接
，则
，
∴若
点为圆
的关联点，则需点
到圆心的距离满足
；
由上述证明可知，考虑临界点位置的
点，
如图，点
到原点的距离
，
过点
作 轴的垂线
，垂足为
，
，
∴
，
2
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∴
，
可得点
与点
重合，
过点
作
轴于点
，
可得
，
∴
，
从而若点
为⊙
的关联点，则
点必在线段
上，
∴
．
若线段
上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应
在线段
的中点；考虑临界情况，如图，
即恰好
、
点为圆
的关联时，则
，
此时，
，
故若线段
上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为
．
【知识点】与圆有关的新定义
2. 在平面直角坐标系
中，⊙
的半径为，
是与圆心
不重合的点，点
关于⊙
的反称点的定义
如下：若在射线
上存在一点
，满足
，则称
为点
关于⊙
的反称点，下图
为点
及其关于⊙
的反称点
的示意图．
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1
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
当⊙
的半径为时．
点
，
，
中存在关于⊙
的反称点的是 ．
点
在直线
上，若点
关于⊙
的反称点
存在，且点
不在轴上，求点
的横坐标的取值范围．
当⊙
的圆心在轴上，半径为，直线
与轴，轴分别交于点
，
，若
线段
上存在点
，使得点
关于⊙
的反称点
在⊙
的内部，求圆心
的横坐标的取值
范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
、
．
．
，
点不存在反称点．
点存在反称点：
，
点存在反称点：
．
故答案为：
，．
∵⊙
的半径为，
∴
，
设
与轴，轴的交点为
、
，
则
，
，
∵
，
∴以
为圆心半径为的圆与直线交点为
、
．
当
位于点
或点
时，
在轴上，不符合题意．
当
在线段
上（不含端点时），
，
在线段
上．
∴
，即
在第一象限，符合题意．
∴
．
，
，
设
，
4
【标注】
以
为圆心，作半径为的圆
，
若圆
与线段
有交点，则线段
上夹在圆
与圆
之间的点（不含圆
上的点）均为
符合题意的点
．
当
在
左侧，圆
与
相切时，
设切点为
，由
，
得：
，
∴
，
此时
，
当
在点
右侧，线段
要与圆
有交点，则
，
此时
，
综上：
．
【知识点】与距离有关的新定义
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
1
2
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，点
与点
不重合．以点
为圆心作经过点
的圆，则称该圆为点
，
的“相关圆”．
已知点
的坐标为
，
若点
的坐标为
，求点
，
的“相关圆”的面积．
若点
的坐标为
，且点
，
的“相关圆”的半径为
，求的值．
已知
为等边三角形，点
和点
的坐标分别为
，
，点
在轴正半轴
上．若点
，
的“相关圆”恰好是
的内切圆且点
在直线
上，求点
的坐
标．
已知
的三个顶点的坐标为：
，
，
，点
的坐标为
，点
的坐标为
．若点
，
的“相关圆”与
的三边中至少一边存在公共点，直接
写出
的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
，
．
，
．
，
∴
．
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（2 ）
（3 ）
【标注】
过点
作
轴于点
，则
．
．
∴
点坐标为
或
．
∴
或
．
如图，在
中，
，
∴
．
∴
点坐标为
．
的内切圆圆心坐标为
，半径为．
∴
．
设
坐标为
，
则由
得
，
解得
．
∴
，
．
①当相关圆与
、
相切时，半径有最小值
．
②当相关圆过点
时，半径有最大值
，
∴
，
．
【知识点】与圆有关的新定义
