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1
一次函数与存在性（3）等腰直角三角形【题集A
2】
1.
【解析】
【标注】
已知直线
与平面直角坐标系中的轴、轴分别交于
、
两点，以
为边作等腰直角
三角形
，使得点
与原点
在
两侧，则点
的坐标为 ．
【答案】
或
或
∵
，
∴
时，
，解得
，
时，
，
∴
，
．
以
为边作等腰直角三角形
，使得点
与原点
在
两侧，可分三种情况：
①当
为直角顶点时，如图，作
轴于点
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
②当
为直角顶点时，同理可得
；
③当
为直角顶点时，显然
为
的中点，则
．
综上所述，点
的坐标为
或
或
．
故答案为
或
或
．
x
y
O
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
（
）
2
2.
【解析】
【标注】
如图，直线
与轴轴分别交于点
、
，点
为直线
在第一象限上一点，且
是等腰直角三角形，求
的值．
【答案】
或
或．
略．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
3.
【解析】
点
是直线
上的动点，过点
作
轴于点
，当点
位于第二象限时，在轴上有
一点
，使
为等腰直角三角形，则点
的坐标为 ．
【答案】
，
，
（）如图，当等腰直角三角形的两条直角边是
、
时，
设点
的坐标为
，
则点
的坐标为
，
因为点
是直线
上的动点，
所以
，
解得
，
所以点
的坐标为
；
（）如图，当等腰直角三角形的两条直角边是
、
时，
3
【标注】
点
的坐标为
，
则点
的坐标为
，
因为点
是直线
上的动点，
所以
，
解得
，即点
的坐标为
，点
的坐标为
，
点
的坐标为
；
（）如图，当等腰直角三角形的两条直角边是
、
时，
作
交
与点
，设点
的坐标为
，
因为
，
，
所以点
的坐标为
，
因为点
是直线
上的动点，所以
，
解得
，
所以点
的坐标为
；
综上，可得
点
的坐标为
、
、
．
故答案为：
、
、
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
4. 如图，在平面直角坐标系中，点
，
，
，点
在第二象限，且
≌
．
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
请在图中画出
，并直接写出点
的坐标．
点
在直线
上，且
是等腰直角三角形，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
或
如图，正确画出
．
点
的坐标为
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴过
、
两点的一次函数的解析式为
，
①当
为直角边时，如图，此时，点
的横坐标为
．
∴
．
②当
为斜边时，如图，此时，点
的横坐标为
．
∴
．
∴在直线
上，使
是等腰直角三角形的点
坐标为
或
．
5
【标注】【知识点】一次函数与等腰直角三角形
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图所示，直线
与轴、轴分别交于点
、
两点．
求出
、
两点的坐标．
若
、
两点是一个等腰直角三角形的两个顶点，请求出另一个顶点的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
，
，
，
，
．
，
．
个答案：
，
，
，
，
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
6. 如图，
是等腰直角三角形，
，
与轴的夹角为
，求
点的坐标（ ）．
6
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】C
∵
且
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
与轴的夹角为
，可以得到
与轴夹角为
，
此时
的解析式为
，
设
点坐标为
，
∴
，求得
，
点的坐标为
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
，
，
，
，
，
，
A.
B.
C.
D.
7. 如图，直线
与轴、轴分别交于点
，点
，点
是线段
中点，点
是第一象限内
一点，且使
是等腰直角三角形，则点
的坐标为（ ）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
7
【解析】
【标注】
【答案】B
如图，易证
≌
≌
≌
∴
∴
、
、
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
（1 ）
（2 ）
8. 在平面直角坐标系
中，将直线
向下平移个单位后，与一次函数
的图象相
交于点
．
求点
的坐标．
若
是轴上一点，且满足
是等腰直角三角形，直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
或
．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
将直线
向下平移个单位后对应解析式为：
，
根据题意得出：
，
解得
．
故
点坐标为：
．
如图所示：∵
是轴上一点，且满足
是等腰直角三角形，
∴
或
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
1
2
（1 ）
（2 ）
9. 如图，在平面直角坐标系中，
是坐标原点，点
的坐标为
，点
的坐标为
，点
是直线
上位于第二象限内的一个动点，过点
作
轴于点
，记点
关于轴的对称点为
，
设点
的横坐标为．
当
时．
求直线
的解析式．
若
，求
点的坐标．
是否同时存在、，使得
是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的、的
值；若不存在，请说明理由．
【答案】
1
（1 ）
．
9
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
2
（2 ）
．
存在．
，
或
，
．
由
，
，
设直线
解析式为
，
把
与
坐标代入得：
，
解得：
，
，
则直线
解析式为
．
∵
，
，
∴
，
∵点
关于轴的对称点为
，
∴
，
代入直线
解析式得
，
则
坐标得
．
①若
，如图所示，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴直线
解析式为
，
∴
，
；
图
②若
，如图所示，
则
，
∴
，
∴
，
，即
,
∴直线
解析式为
，
∴
，
．
10
【标注】
图
③
、
重合于
时，
也是等腰直角三角形，此时
，
，舍去，
综上所示，
，
或
，
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，一次函数的图象与轴交于点
，与轴交于点
，且与正比
例函数
的图象交于点
．
求一次函数的解析式．
若点
在第四象限，
是等腰直角三角形，直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
的坐标为
或
或
．
一次函数与正比例函数交于点
，
∴
，
．
∴
，
∵一次函数交
，
∴设直线解析式
，
解得
．
∴
．
11
（2 ）
【标注】
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
