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1
一次函数章节复习：点距类新定义【题集C4】
（1 ）
1
2
（2 ）
1. 在平面直角坐标系
中，对于两点
与
的“比例距离”，给出如下定义：若
，则线段
的长为点
与点
的“比例距离”．
例如：点
，点
，因为
，所以点
与点
的“比例距离”为
，
也就是图中线段
的长．
图
若点
与点
之间存在“比例距离”，且
，则
，点
与点
的
“比例距离”为 ．
点
是直线
上的一个动点，
备用图
求点
与点
的“比例距离”及相应的点
的坐标．
如图，
是以原点
为圆心，
为半径的圆上的一个动点，求点
与点
的“比例距
离”的最小值及相应的点
的坐标．
图
【答案】（1 ） ;
2
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
1
2
（2 ）
点
坐标为
或
，点
与点
的比例距离为
或
．
最小值为
，
．
由题意得
在
的直线上，
∵直线经过原点且
，
∴
，
把
代入
，得
，
∴
，比例距离为
．
故答案为：，
．
联立方程
，
解得
，
∴点
坐标为
，点
与点
的比例距离为
．
联立方程
，
解得
，
∴点
坐标为
，点
与点
的比例距离为
．
综上所述，点
坐标为
或
，点
与点
的比例距离为
或
．
如图，平移
与圆相切于点
，
∵圆与直线
关于直线
对称，
∴点
坐标为
，
把
代入
得：
，
解得
，
∴点
，
所在直线方程为
，
联立方程
，
3
【标注】
解得
，
∴点
坐标为
，
∴点
与点
的比例距离为
．
【知识点】与距离有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，已知点
、
，连接
．如果对于平面内一点
，线段
上都存在点
，使得
，那么称点
是线段
的“附近点”．
–3
–3
–3 –2
–2
–2 –1
–1
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
–2
–2
–2
–1
–1
–1
1
2
3
4
5
6
O
x
请判断点
是否是线段
的“附近点”．
如果点
在一次函数
的图象上，且是线段
的“附近点”，求
的取值
范围．
如果一次函数
的图象上至少存在一个“附近点”，请直接写出的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
是．
．
．
根据“附近点”的定义可知点
是线段
的“附近点”．
∵点
是线段
的“附近点”，点
在直线
上，
∴
．
方法一：
直线
与线段
交于点
．
4
（3 ）
【标注】
①当
时，有
，
又∵
轴，
∴ 此时点
到线段
的距离是
，
∴
，
∴
．
②当
时，有
，
又∵
轴，
∴ 此时点
到线段
的距离是
，
∴
，
∴
，
综上所述，
．
方法二：
线段
的 “附近点”所在的区域是图中虚线及其内部，
–1
–1
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
–2
–2
–2
–1
–1
–1
1
2
3
4
5
6
O
x
由图可知，当
时，
，即
；
当
时，
，即
．
∴
．
．
【知识点】与函数有关的新定义
3. 点
的“ 值”定义如下：若点
为圆上任意一点．线段
长度的最大值与最小值之差即为点
的“
值”，记为
特别的，当点
、
重合时，线段
的长度为．当⊙
的半径为时．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
x
–5 –4 –3 –2 –1
1 2
3 4
5 6
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
（2 ）
（3 ）
【解析】
x
–5 –4 –3 –2 –1
1 2
3 4
5 6
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
x
–5 –4 –3 –2 –1
1 2
3 4
5 6
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
备用图
若点
，
，则
，
．
若在直线
上存在点
，使得
，求出点
的横坐标．
直线
与轴，轴分别交于点
、
，若线段
上存在点
，使得
，请你直接写出的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
或
．
．
根据题意可得圆内的点的值
这个点到圆心距离的倍，圆上或圆外的点的值
圆的直径，所以
，
；
故答案为, ．
根据题意，满足
的点位于以点
为圆心，半径为的圆周上．
∵点
在直线
上，
∴设
∵
，
∴
，即
．
解得：
，
．
∴
或
．
根据题意，满足
的点位于以点
为圆心，外径为
，内径为的圆环内，
当线段与外环相切时，解得
．
当线段与内环相切时，解得
，
所以满足条件的的值
．
6
x
–5 –4 –3 –2 –1
1 2
3 4
5 6
y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
【标注】【知识点】一次函数与圆的综合问题
