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一次函数章节复习：函数类新定义【题集C2】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
设关于的一次函数分别为
与
，那么称函数
（其中
）为这两个函数的生成函数．
当
时，求函数
与
的生成函数的值．
若函数
与
的图象的交点为点
，判断点
是否在此两个函数
的生成函数的图象上？并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
点
在此两个函数的生成图象上．
当
时，
，
∵
，
∴
．
点
在此两个函数的生成函数的图象上，
设点
的坐标为
，
∵
，
，
∴当
时，
，
即点
在此两个函数的生成图象上．
【知识点】与函数有关的新定义
2. 若将一次函数
的图象在直线
上方的部分沿直线
向下翻折，图象的其余部分
保持不变，则会得到一个新图象．我们称这个新图象为一次函数
关于直线
的“折
向函数”的图象．例如，函数
关于轴的折向函数的图象如图．
2
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
图
、
、
、
四点中在函数
关于直线
的折向函数的
图象上的有 个．
已知点
的坐标为
，点
的坐标为
，函数
，
若点
在函数
关于直线
的折向函数的图象上，求
的值．
若函数
关于直线
的折向函数的图象与线段
有公共点，则
的取值范围
是 ．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
或
关于
的折向函数的解析式为
．
∴将
、
、
、
代入两个解析式中均不成立．
在
的折向函数的图象上，
∴
与
对称．
则对称轴为直线
．
∴设
在
的图象上，
∴
．
∵
也在直线
上，
∴
．
①当
点在
的上方时，
与线段
也有交点，
即
，
．
3
【标注】
②当
在直线
上方的部分沿直线
向下翻折时，翻折的图象与线段
也有交点，
令
，则
，
．
设
代入
，
，
，
∴
．
∴
与线段
有公共点，
∴代入
时，
，
∴
．
代入
时，
，
．
∴
．
故
的取值范围为
或
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 我们知道一次函数
与
的图象关于轴对称，所以我们定义：函数
与
互为“镜子”函数．
请直接写出函数
的“镜子”函数 ．
如果一对“镜子”函数
与
的图象交于点
，且与轴交于
、
两点，如图所示，若
，且
的面积是，求这对“镜子”函数的解
析式．
若点
是轴上的一个动点，当
为等腰三角形时，直接写出点
的坐标．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
和
．
，
．
根据题意，“镜子函数”为关于轴对称的两个函数．
∴原函数的“镜子函数”为
．
根据题意，
和
为一对“镜子函数”．
∴
，即
为等腰直角三角形，
即
，
∴
．
又∵
且
，
∴解得
．
那么
和
．
根据等腰三角形的性质，分情况，
∵
，
，
∴以
为顶点，则
，得
，
，
以
为顶点，则
，得
．
以
为顶点，则
，得
．
【知识点】与函数有关的新定义
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
设、是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式
的实数的所有取值的全体叫做闭区
间，表示为
．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当
时，有
，我们就称此函数是闭区间
上的“闭函数”．
一次函数
是闭区间
上的“闭函数”吗？请判断，并说明理由．
若二次函数
是闭区间
上的“闭函数”，
，求实数，的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
是，证明见解析．
，
．
时，
；当
时，
，
所以
是闭区间
上的“闭函数”．
二次函数解析式为
，
，
当
时，有最小值为
，
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【标注】
当
时，二次函数
是闭区间
上的“闭函数”，
，
，
．
【知识点】与函数有关的新定义
