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1
一次函数章节复习：等腰直角三角形存在性【题集B
2】
直线
直线
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知直线与直线相交于点
，直线过点
，平行于轴的动直线的解析式为
，且动直线分别交直线、于点
、
（
在
的上方）．
求直线和直线的解析式．
若
是轴上一个动点，且满足
是等腰直角三角形，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
，
，
，
．
∵直线经过原点与
，
∴
，
设直线
，
将
，
代入上式得：
，
∴
．
由题意：
与直线交于
，
与直线交于
，
且
在
上方，则
，
∴
，
若
为等腰直角三角形，
①
，
，
∴
，
（舍），
2
【标注】
此时，
．
②
，
，
∴
，
（舍），
此时，
．
③
，
，
∴
，
，
此时，
，
．
综上所述，使
为等腰直角三角形的点有个，
，
，
，
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
2.
【解析】
如图，直线
与、轴交于点
、
两点，直线
与轴交于点
，点
是
线段
上的一动点，过
的直线与轴平行，且交直线
于点
，点
在轴上．若
是等腰
直角三角形，则符合条件的点
坐标是 ．
【答案】
或
或
设
，则
，
是等腰直角三角形时，可分三种情况进行讨论：
，
，
3
【标注】
①当
，
时，点
坐标为
，
，
解得
，
，
所以点
坐标为
；
②当
，
时，点
坐标为
，
，
解得
，
，
所以点
坐标为
；
③当
，
时，过
作
于
，则
．
，
点
坐标为
，
，
解得
，
，
所以点
坐标为
；
综上所述，点
坐标为
或
或
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
，
，
，
，
，
，
，
，
，
3. 如图，函数
的图象分别与轴、轴交于
、
两点，点
在轴上，
平分
．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求点
、
的坐标．
求
的面积．
点
在坐标平面内，且以
、
、
为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点
的
坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
或
或
或
或
或
．
在
中，
令
得
，解得
，
令
，解得
，
∴
，
．
如图，过点
作
于点
，
∵
平分
，
∴
，
由（）可知
，
，
∴
，
5
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
设
，则
，
，且
，
∵
为等腰直角三角形，
∴有
、
和
三种情况，
① 当
时，则有
且
，
即
，
解得
或
，
此时
点坐标为
或
；
②
时，则有
且
，
即
，
解得
或
，
此时
点坐标为
或
；
③
时，则有
且
，
即
，
解得
或
，
此时
点坐标为
或
；
综上可知，使
为等腰直角三角形的
点坐标为
或
或
或
或
或
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
4. 如图，直线
交轴于点
，交轴于点
，点
、
坐标分别是
和
．直线
：
，与直线
交于点
，点
为直线
上的动点，当
是等腰直角三角形时，求点
坐标．
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【解析】
【标注】
【答案】
；
．
计算可得
，联立可得
，
分析得，只存在两种情况：
①
为直角顶点：画图，设点，构造三垂直全等，解得
；
②
为直角顶点：①中点
和点
的中点即为所求点，
．
【知识点】一次函数与等腰直角三角形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，直线
交轴于
点，交轴于
点，以
，
，
为顶点作矩形
，且矩形
≌矩形
，直线
交直线
于
点．
x
y
O
求直线
的解析式．
求证：
平分
．
在角平分线
上找一点
，使以点
，
，
为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出
点坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
和
．
∵直线
交轴于
点，交轴于
点，
7
（2 ）
方法一：
（3 ）
∴
点的坐标是
，
点的坐标是
，
∵矩形
≌矩形
，
，
，
∴
点的坐标是
，
点的坐标是
，
设直线
的解析式是
，
∴
，
解得
，
∴直线
的解析式是：
．
过点
作
于点
，
作
于点
，如图所示：
在
和
中，
，
∴
≌
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
平分
．
∵矩形
≌矩形
，
∴
≌
，
，
，
∴
，
∴对角线
，
8
∵
平分
，
∴
．
解
，
得：
，
即点
，
∴直线
为
．
∵
，
∴
，
．
以点
、
、
为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：
①过
作
于点
，
则
是以
为斜边的等腰直角三角形，
过
作
于点
，如图所示．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
设点
，
在
中有
，
即
，
解得：
或
（舍去）．
9
方法二：
∴点
．
②过
作
交
于
，
则
是以
为直角边的等腰直角三角形，
过
作
于点，如图所示，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
设
，
在
中有
，
即
，
解得：
或
（舍去），
∴点
．
综上可得：使以点
、
、
为顶点的三角形是等腰直角三角形的
点的坐标为
和
．
∵矩形
≌矩形
，
∴
≌
，
，
，
∴
，
∴对角线
，
∵
平分
，
10
∴
．
解
，
得：
，
即点
，
∴直线
为
．
∵
，
∴
，
．
以点
、
、
为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：
①过
作
于点
，
则
是以
为斜边的等腰直角三角形，
过
作
于点
，如图所示．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
设点
，
在
中有
，
即
，
解得：
或
（舍去）．
∴点
．
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【标注】
②过
作
交
于
，
则
是以
为直角边的等腰直角三角形，
过
作
于点，过
作
于点
，如图所示，
∵
，
轴，
∴
，
，
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
综上可得：使以点
、
、
为顶点的三角形是等腰直角三角形的
点的坐标为
和
．
【知识点】一次函数与特殊平行四边形
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