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一次函数章节复习：点距类新定义【题集C5】
1
2
（1 ）
（2 ）
1.
1
2
（1 ）
【解析】
已知在平面直角坐标系
中的点
和图形
，给出如下的定义：若在图形
上存在一点
，使得
、
之间的距离等于，则称
为图形
的关联点．
当⊙
的半径为时，
点
，
，
中，⊙
的关联点有 ．
直线经过
点，且与轴垂直，点
在直线上．若
是⊙
的关联点，求点
的横坐
标的取值范围．
已知正方形
的边长为，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上
的点都是某个圆的关联点，求圆的半径的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
、
．
．
、
．
如图，以
为圆心，为半径的圆与直线
交于
，
两点．
2
（2 ）
【标注】
线段
上的动点
（含端点）都是以
为圆心，为半径的圆的关联点．
故此
．
由已知，若
为图形
的关联点，图形
必与以
为圆心为半径的圆有交点．
∵正方形
边界上的点都是某圆的关联点，
∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心为半径的圆都有交点
故此，符合题意的半径最大的圆是以
为圆心，为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是
以
为圆心，
为半径的圆．
综上所述，
．
【知识点】与圆有关的新定义
（1 ）
2. 在平面直角坐标系
中，对于任意三点
、
、
我们给出如下定义：“横长” ：三点中横坐标
的最大值与最小值的差，“纵长” ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相
等，我们称这三点为正方点．
例如：点
，点
，点
，则
、
、
三点的“横长”
，
、
、
三点的“纵长”
． 因为
，所以
、
、
三点为正方点．
在点
，
，
中，与点
、
为正方点的是 ．
3
（2 ）
1
2
（3 ）
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
【解析】
点
为轴上一动点，若
，
，
三点为正方点，的值为 ．
已知点
．
平面直角坐标系中的点
满足以下条件：点
，
，
三点为正方点，在图中画出所有
符合条件的点
组成的图形．
若直线：
上存在点
，使得
，
，
三点为正方点，直接写出
的取
值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
或
画图见解析．
或
．
点
．
或．
画出如图所示的图像．
4
2
【标注】
或
．
【知识点】一次函数与一元一次不等式
x
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
–1
1
2
3
O
1
2
（1 ）
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
y
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
O
1
2
（2 ）
3. 在平面直角坐标系
中，对于
，
两点给出如下定义：若点
到两坐标轴的距离之和等于点
到
两坐标轴的距离之和，则称
，
两点为同族点．下图中的
，
两点即为同族点．
已知点
的坐标为
，
在点
，
，
中，为点
的同族点的是 ．
若点
在轴上，且
，
两点为同族点，则点
的坐标为 ．
直线：
，与轴交于点
，与轴交于点
，
为线段
上一点，若在直线
上存在点
，使得
，
两点为同族点，求的
取值范围．
为直线上的一个动点，若以
为圆心，
为半径的圆上存在点
，使得
，
两点为同族点，直接写出
的取值范围．
5
1
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
【答案】
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
，
或
．
或
．
①∵点
的坐标为
，
∴
，
点
，
，
中，
，
，
，
∴点
的同族点的是
，；
故答案为：
，；
∵点
在轴上，
∴点
的纵坐标为，
设
,
则
，
∴
，
∴
或
；
故答案为：
或
；
由题意，直线
与轴交于
，与轴交于
．
点
在线段
上，
x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
O
设其坐标为
，
则有：
，
，且
．
点
到轴的距离为
，
点
到轴的距离为
，
6
2
【标注】
则
．
∴点
的同族点
满足横纵坐标的绝对值之和为．
即点
在右图中所示的正方形
上．
∵点
的坐标为
，点
在直线
上，
∴
．
由上一问可知，
为直线
上的一点，
点到坐标轴的距离之和大于等于．
点到坐标轴距离之和等于的图形
如图所示：
x
y
O
以
为圆心，
为半径的圆上存在点
，
、
两点为同族点，
即
点到坐标轴的距离之和大于等于，
故点
应该在图形
上或外侧，即⊙
上的点有在图形
上或外侧的，
x
y
O
即当⊙
于
相切时，
，
，
当⊙
从
开始向右平移，⊙
上就存在点
点的同族点点
，故
．
同理可知，当轴右侧，当
运动
，⊙
与
相切，
，
．
故
的取值范围为
或
．
【知识点】与函数有关的新定义
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