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一次函数章节复习：点距类新定义【题集C3】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
对于平面直角坐标系中的任意点
，点
到，轴的距离分别为
、
，我们把
称为点
的直角距离．记作，即
．直线
分别与，轴交于点
，
，点
在直线
上．
当
为线段
的中点时，
．
当
时，求点
的坐标．
若在线段
上存在无数个
点，使
（为常数），求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
的坐标为
或
．
．
∵直线
分别与，轴交于点
，
，
，
，
又∵
为线段
的中点，
∴
，
∴
．
设
，
∴
，
当
时，
，
解得：
，此时
，
当
时，
，
2
（3 ）
【标注】
解得：
，此时
，
当
时，
，
解得：
，因为
，所以此时不存在点
，
综上，
的坐标为
或
．
设
，
∴
，
．
∵
在线段
上，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，即
，
∵有无数个点，
∴
．
【知识点】与函数有关的新定义
图
1
2
（1 ）
2. 我们规定：平面内点
到图形
上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离，点
到
图形
上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离
，定义点
到图形
的距离跨度为
．
回答下列问题：
如图，在平面直角坐标系
中，图形
为以
为圆心，为半径的圆，直接写出以
下各点到图形
的距离跨度：
的距离跨度 ；
的距离跨度 ；
的距离
跨度 ．
根据①中的结果，猜想到图形
的距离跨度为的所有的点组成的图形的形状
是 ．
3
图
（2 ）
图
（3 ）
方法一：
1
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，图形
为以
为圆心，为半径的圆，直线
上存在到
的距离跨度为的点，求的取值范围．
如图，在平面直角坐标系
中，射线
：
（
），圆
是以为半径的圆，
且圆心
在轴上运动，若射线
上存在点到圆
的距离跨度为，直接写出圆心
的横坐标
的取值范围 ．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
; ;
圆
．
的跨度距离
，
∵
，
∴
，
∴
的跨度距离
．
∴
的跨度距离
．
4
图
图1
方法二：
方法一：
方法二：
2
（2 ）
如图，
∵图形
为以
为圆
心，为半径的圆，
∴直径为，
∵
，
，
∴点
到⊙
的最小
距离
，
点
到⊙
的最大距离
，
∴点
到图形
的距离跨度
；
∵
，∴
，
∴点
到⊙
的最小距离
，
点
到⊙
的最大距离
，
∴点
到图形
的距离跨度
；
∵
，
∴
，
∴点
到⊙
的最小距离
，
点
到⊙
的最大距离
,
∴点
到图形
的距离跨度
；
由①可知点与圆心
的距离为时，跨度距离都为，所以满足跨度距离为的
所有的点组成一个圆．
设⊙
外一点
的坐标为
，
∴
，
∴点
到⊙
的最小距离
，点
到⊙
的最大距离
，
∴点
到图形
的距离跨度
；
∵图形
的距离跨度为，
∴此种情况不存在，
所以，到图形
的距离跨度为的所有的点组成的图形的形状是以点
为圆心，为半
径的圆．
故答案为：圆．
∵
，
5
图
图
方法一：
方法二：
（3 ）
【标注】
∴直线是过
可以旋转的直线，
又∵直线上存在到
跨度距离为的点，
∴直线与以
为圆心，为半径的圆有交点，
又∵极限情况为、与圆相切，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
由图可知，
以为半径的圆
距离跨度为的点在以
为圆心半径为的
圆上，
∴与射线
的跨度距离为，
即以
为圆心半径为的圆与射线
有交点，
∵
：
，
∴
，
∴有交点即两种极限情况如图所示，
∴相切时
，
∴
．
同（）的方法得出，射线
上存在点
到圆
的距离跨度为时，点
在圆内，
到图形
的距离跨度为的所有的点组成的图形的形状是以点
为圆心，为半径的圆
∴
．
【知识点】与距离有关的新定义
3. 在平面直角坐标系
中，有不重合的两个点
与
．若
，
为某个直角三角形的
两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与轴或轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的
两条直角边的边长之和称为点
与点
之间的“折距”，记做
．特别地，当
与某条坐标轴平
行（或重合）时，线段
的长即点
与点
之间的“折距”．例如，在右图中，点
，点
，此时点
与点
之间的“折距”
．
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1
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
请回答下列问题：
已知
为坐标原点，点
，
，则
，
．
点
在直线
上，请你求出
的最小值．
点
是以原点
为圆心，为半径的圆上的一个动点，点
是直线
上一动点．请你
直接写出点
与点
之间“折距”
的最小值．
……
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
;
．
．
．
．
点
在直线
上，当
点在第一象限时，
取最小值为．
将直线
向下平移至
，当
与⊙
相切，切点
在第二象限时，
，
，
∴
，
∴
，
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【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
的最小值为
．
【知识点】一次函数与圆的综合问题
