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1
一次函数与存在性（2）直角三角形【题集A2】
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
1.
【解析】
【标注】
已知点
、点
，在坐标轴上再找一点
，使
是直角三角形，则这
样的点
有（ ）个．
【答案】C
略．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
2.
【解析】
一次函数
的图象分别交轴、轴于
、
两点，在坐标轴上是否存在一点
，使得
为直角三角形？若存在，请求出点
的坐标．
【答案】存在，
点的坐标为
或
或
．
存在，理由如下：
一次函数
，
当
时，
；当
时，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
分三种情况：如图所示：
①当
时，
，
∴
，
2
【标注】
∴
；
②当
时，
与
重合，
∴
；
③当
时，
，
∴
，
∴
．
综上所述，存在一点
，使得
为直角三角形，点
的坐标为
或
或
．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
一次函数
的图象与轴交于
点，与
的图象交于
点．
求点
、点
的坐标．
求这两个函数图象与轴围成的图形的面积．
设
是轴上一个动点，当
是直角三角形时，直接写出
点的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
点
坐标为
或
．
在
中，令
，可得
，
∴
，
联立两函数解析式可得
，解得
，
∴
．
设直线
与轴交于点
，直线
与轴交于点
，
在直线
中，令
可得
，解得
；
在
中，令
可得
，解得
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
即两个函数图象与轴围成的图形的面积为
．
设
点坐标为
，
∵
，
，
3
【标注】
∴
，
，
，
由题意可知当
为直角三角形时，有
或
，
①当
时，则有
，即
，
解得
（与
点重合，舍去）或
，此时
点坐标为
；
②当
时，则有
，即
，
解得
，此时
点坐标为
．
综上可知当
是直角三角形时，点
坐标为
或
．
【知识点】一次函数与直角三角形结合
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在坐标系中有直线
，点
纵坐标为，直线与轴交于点
，与轴的夹角为
，已知
．
求点
的坐标以及直线的解析式．
在直线上有一动点
，若
是以
为直角边的直角三角形，求出满足题意的点
的坐
标．
【答案】（1 ）
（2 ）
见解析
见解析
的纵坐标为，∴
，解得
，∴
．
∴
．
∴
，∵与轴夹角为
，且经过第一、二、三象限，∴
．
∴
．
设点
．
依题意得，
，
，
．
，
4
【标注】
①
为直角顶点：有
，即
，解
得
，即
．
②
为直角顶点：有
，即
，解
得
，即
．
【知识点】一次函数与动点问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
的两个顶点分别为
，
，顶点
在直线
上．
当
是以
为底边的等腰三角形时，写出点
的坐标．
当
的面积为时，求点
的坐标．
在直线上是否存在点
，使得
为以
为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
或
．
作出线段
的垂直平分线，与直线交于点
，连接
，
，此时
是以
为底的等腰三角形，如图所示，
（，），
（，），
横坐标为
，
把
代入
，得：
，即
（，）．
，
，
，
，
，
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
面积为，且
，
，即
，
把
代入
得：
；把
代
得：
，
则
（，）或（
，
）．
如图所示，
分两种情况考虑：当
时，此时
（，）；
当
时，此时
（，）.
【知识点】一次函数与等腰三角形结合
纵坐标
纵坐标
