一次函数与全等三角形题集B3(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第19章一次函数_3.专题突破

1
一次函数与全等三角形【题集B3】
图
（1 ）
图
（2 ）
图
（3 ）
1. 如图，线段
是长度不变的线段，它的两端点分别在轴、轴上的
，
两处，
在
坐标轴上滑动．
如图，当
、
滑动到某处时，、满足
，直接定长线段
的
长度            ．
当
、
滑动到( )中的位置时，分别以
、
为直角边作等腰
和等腰
(如图)，
，
，连
交轴于
点，求线段
的长度；
当
、
滑动到图的位置时，过
、
、
三点的直线依次交于
、
、
点，且
，
，若
，求线段
的长度．
【答案】（1 ）
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
．
．
∵
，
∴
，
∴
，
解得
，
．
由（）可得
，
，
由题过点
作
轴于点
，
∵
，
，
∴
．
在
与
中
∴
≌
∴
．
∴
∴
，
设
解析式为
把
，
代入上式
∴
，
∴
，
∴
解析式
，
3
（3 ）
【标注】
令
，则
，
∴
 ．
∴
 
 
．
过点
作
，交轴于
，
由中心对称可知
，
由对称轴可知
，
∵
，
∴
，
A作
于点
，则
为等腰
，
设
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
∴
．
【知识点】一次函数与全等三角形结合
（1 ）
2. 已知
，
为
的角平分线，
为射线
上一点，
为直线
上一点，
为
直线
上一点，且
．
若点
在射线
上，点
在射线
上，如图，求证：
．
4
（2 ）
（3 ）
图
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
若点
在射线
上，点
在射线
的反向延长线上，请将图补充完整，并说明（）中的
结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
图
在（）的前提下，以图中的点
为坐标原点，
所在的直线为轴，
所在的直线为
轴，建立平面直角坐标系．设直线
与轴交于点
，直线
与轴交于
，连接
，如
图所示，若点
的坐标为
，点
的坐标为
，求直线
的函数解析式．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
结论仍然成立，证明见解析．
．
如图中，作
于
，
于
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
≌
．
∴
．
如图中，结论仍然成立．
5
图
（3 ）
理由：作
于
，
于
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
≌
．
∴
．
如图中，作
于
，
于
，
图
同理可得：
≌
．
∴
，
，
设
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设直线
的解析式为
，则有，
，
解得
，
∴直线
的解析式为
．
由
，解得
，
∴
，同理可得
，
设直线
的解析式为
，
6
【标注】
则有
，
解得
，
∴直线
的解析式为
．
【知识点】一次函数与全等三角形结合
图
（1 ）
（2 ）
图
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图（），直线
分别与轴、轴交于
、
两点，以
、
为边作正方形
，
是边
上一点，将直线
绕
点逆时针旋转
与过
点垂直于
的直线交于点
．
求
、
两点的坐标．
若直线
的解析式为
，求直线
的解析式．
如图（），若
，过点
作
于点
，交
于点
，求
的
值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
．
∵直线
分别与轴、轴交于
、
两点，
令
，则
，解得
，
∴
，
令
，则
，
∴
．
7
图
（2 ）
方法一：
（3 ）
在图中，过点
作
轴，垂足为
，则
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
设
，则
，解得
，
∴
，
．
设直线
的解析式为
，
将
，
两点的坐标代入
中，
得：
，解得：
，
∴直线
的解析式为
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
8
方法二：
【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
上截取
，可得
≌
，推出
，
又
，推出
是等边三角形，可得
，
在
中，
∵
，
设
，则
，由勾股定理得：
，
∴
．
【知识点】一次函数与全等三角形结合
x
y
O
（1 ）
（2 ）
4. 如图，平面直角坐标系中，函数
与坐标轴交于
、
两点．
求
的度数．
以
为一边作等边
，作
的垂直平分线
交
的垂线
于点
．求证：
．
9
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
x
y
O
在⑵的条件下，连结
交
于
．求证：
为
的中点．
x
y
O
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
证明见解析．
证明见解析．
∵
中，
，
∴
．
连接
，
x
y
O
∵
为等边三角形，
∴
，
∵
，作
的垂直平分线
交
的垂线
于点
，
∴
，
，
10
（3 ）
【标注】
∴
又∵
，
∴
为等边三角形．
∴
．
在
与
中，
∵
，
∴
≌
．
∴
．
作
于
∵
，∴
，
∵
，∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
又∵
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∴
为
的中点．
【知识点】一次函数与全等三角形结合